Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ситуация такова, что спектр собственных значений А,( является
дискретным п невырожденным. Расположим А< в порядке их возрастания:
А., < Аа <... < А," <... (6.2)
Рассмотрим некоторое значение А,, и пусть A..v < А *3 Aw+i, т. е.
существует N собственных значений, меньших чем А,. Вопрос заключается в
следующем: можно ли указать некоторые общие свойства асимптотического
распределения собственных значений А, при больших значениях N?
Известны два подхода к решению этого вопроса. Первый из них основан на
использовании вариационных методов [189], второй - на использовании
теорем тауберова типа (см., например, [9, 190]). С помощью этих методов
удается, в частности, определить число iV(A) собственных значений А<,
заключенных в области < А.. Характер этой формулы проще всего понять на
примере стационарного уравнения Шредингера
ДФ +[?_*'(?)] 4, = 0, $\9 = 0, (6.3)
А
которое при 2т = % = 1 переходит в (6.1) с Е = Величина NiE) обозначает
число стационарных состояний, ограниченных в фазовом пространстве
поверхностью
II рг/2т+ V(q) = const = Е. (6.4)
Хорошо известна асимптотическая формула для N(E):
N(E) ~ T(E)/(2n%)d (Е -+ оо), (6.5)
где Г(Е) - объем в фазовом пространстве, ограниченный поверхностью (6.4).
Нетрудно теперь аналогичным образом указать формулу для N(А), используя
для задачи (6.1) соответствующий язык квантовой механики.
Однако величина N(E) в (6.5), или N{А), является очень грубой
характеристикой распределения собственных значений. Более тоикой
характеристикой является распределение расстояний между ближайшими
собственными значениями. Определение асимптотических формул для функции
распределения расстояний между соседними собственными значениями
наталкивается на серьезные трудности. Анализ, проведенный в § 12.5,
позволяет не только понять причины этих трудностей, но и определить путь,
на котором следует искать решение.
Все дело в том, что распределение расстояний между собственными
значениями оказывается очень чувствительным к определенным свойствам
потенциала V (или у) и к форме границы
233
Эти свойства проще всего сформулировать на языке динамической задачи,
соответствующей уравнениям (6.3) или (6.1). Действительно,
асимптотические решения этих уравнений для больших номеров собственных
функций и собственных значений определенным образом выражаются через
решения задачи о классической динамике частицы с гамильтонианом Н.
Поскольку качественные свойства классических траекторий резко меняются,
то должны изменяться и свойства функций распределения расстояний между
уровнями. Заметим, что достаточно, например, в квадрате слегка изогнуть
одну из его стенок так, чтобы она стала рассеивающей, как классические
траектории частицы в таком биллиарде становятся стохастическими. При этом
происходит сильная перестройка функции распределения расстояний между
уровнями. Однако число состоянии N(k) при этом изменяется незначительно
или не изменится вовсе.
То обстоятельство, что спектр собственных значений может быть распределен
квазислучайным образом, показывает, что соответствующую функцию
распределения следует искать в классе совсем иных понятий, чем это
делается в случае регулярного (не случайного) распределения собственных
значений.
Можно высказать следующее предположение. Оно основано на том, что
классическая динамическая задача, которая сопоставляется граничной задаче
типа (6.1) или (6.3), в случае общего положения является неинтегрируемой.
Поэтому распределение собственных значений в случае общего положения
является квазислучайным. Отсюда, в частности, следует, что не может
существовать в общем случае выражения для числа состояний N(k) в виде
ряда, например, по степеням 1 /Кр (р > 0). Это утверждение связано с тем,
что, начиная с некоторого порядка, соответствующий член ряда должен
учитывать расстояние между уровнями, которое является квазислучайной
величиной. Такой член ряда не может быть записан регулярным образом.
Приведенные рассуждения могут быть распространены и на более общий случай
граничных задач, чем (6.1).
К уравнению (6.1) приводятся различные задачи об определении спектра
колебаний резонаторов. Форма резонатора определяет вид границы 3% а
различные физические особенности стенок учитываются характером граничных
условий.
Известна следующая задача: можно ли по спектральпым характеристикам
резонатора определить его форму? Эту задачу иногда формулируют в виде
такого вопроса: "можно ли услышать форму барабана"? (См. его обсуждение в
книге Арнольда [16].) Ответ на этот вопрос отрицательный, поскольку
одинаковым спектрам собственных значений могут соответствовать сильно
отличающиеся формы резонаторов. Появление стохастической компоненты в
спектре собственных значений при квантовании Х-систем позволяет взглянуть
на этот ответ также с иной точки зрения. Две изоморфные /Г-системы должны
иметь одинаковый (в статистическом смысле) спектр собственных значений, и
в то
234
же время эти системы могут сколь угодно сильно отличаться по форме.
