Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 12
РАЗРУШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ
В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
В трех предыдущих главах рассматривались нестационарные квантовые Я-
системы. Появление стохастичности в них было обусловлено внешним
возмущением, зависящим от времени. Настоящая глава посвящается
квантованию стационарных (консервативных) гамильтоновых систем, в которых
стохастичность возникает в результате взаимодействия между различными
степенями свободы, число которых N&* 2.
Основные свойства квантовой консервативной системы характеризуются
структурой ее энергетического спектра, который определяется набором
квантовых чисел "4, ..., пм. Эти числа являются интегралами движения, и
их число М ^N. Поэтому разрушение интегралов движения должно
сопровождаться также разрушением квантовых чисел. Последнее
обстоятельство в свою очередь сказывается на свойствах энергетического
спектра системы. Таким образом, стационарные квантовые Х-системы должны
иметь некоторый "нестандартный" вид энергетического спектра, исследование
которого и составляет содержание этой главы (ком. 1).
Следует заметить, что необходимость разобраться в том, как влияет
разрушение квантовых чисел на энергетический спектр системы, отмечалась
еще в работе Ландау и Смородинского [164J, однако такая возможность
появилась лишь после создания теории Я-спстем.
§ 12.1. Исторические замечания
Правила квантования Эйнштейна. Интегрирование по топологическим
орбитам. Гипотезы о спектрах "сложных" систем. Теория Вигнера -
Портера - Дайсона
Историю вопроса, который является предметом этой главы, следует начать с
работы Эйнштейна [261, опубликованной в 1917 г. и посвященной
квазиклассическим правилам квантования. К тому времени были известны
правила квантования Бора - Зом-мерфельда
¦^<^>pidqi = %ni (f = 1, 2, ..., N), (1.1)
14 Г. м. Заславский
209
где N - число интегралов движения. Эйнштейн считал правила
(1.1) неудовлетворительными, так как их применимость была ограничена лишь
случаем, когда переменные в системе полностью разделяются. Действительно,
только в этом случае можно выбрать
такие (pi, qd, чтобы выражения (J) Pidqi были интегралами движения.
Вместе с тем свойство разделения переменных не связано с собственно
квантовой проблемой. Поэтому должен быть такой способ квантования,
который применим для произвольной динамической гамильтоновой системы вне
зависимости от свойств разделяемое(tm) ее переменных.
Эйнштейн предложил другой способ квантования:
где действия /* н контуры Ск определены в § 1.4 (см. формулу
(1.4.3) и рис. 1.12). Напомним, что возможность сопоставить действиям
(/*) систему квантовых чисел (пк) основана на следующем. Величина
для произвольного контура С является одним из интегральных инвариантов
Пуанкаре. Кроме того, в том случае, когда существует точно N независимых
и однозначных интегралов движения (т. е. столько, сколько степеней
свободы у системы), величина
является полным дифференциалом и существует N различных неприводимых
коптуров Ск (см. § 1.4).
Работа Эйнштейна [26] заканчивается замечанием о том, что возможны
случаи, когда число интегралов движения меньше числа степеней свободы,
как, например (со ссылкой на результаты Пуанкаре), это может быть в
задаче трех тел. Сейчас мы в состоянии оценить глубокий внутренний смысл
этого замечания. Известно, как много времени и усилий понадобилось на то,
чтобы понять, каким образом в динамических системах "исчезают" интегралы
движения (см. § 5.3). Поэтому замечание Эйнштейна приводит к следующему
вопросу: как квантовать систему, у которой вследствие стохастичности
разрушены некоторые из интегралов движения?
Прежде чем перейти к ответу на поставленный вопрос, приведем элементарный
вывод правил кваптования (1.2) (ком. 2).
(1.2)
N
ds = 2 Pidqi
(1.3)
i=x
210
Пусть G(.q", q'\E)- функция Грина системы п q - совокупность всех
координат (qv q2, q^). Введем функцию отклика
g (Е) = J dq G (q, q \ E) = J (1.4)
где Ek - собственные значения энергии системы. Формула (1.4) следует из
определения функции Грина
G(q ,q 1 Е)= 2i е-Еъ-----------'
ft А
в котором ф*(д) - волновая функция стационарного состояния с энергией Eh.
В квазиклассическом приближении выражение для G может быть упрощено и
приведено к следующей хорошо известной форме (см., например, [156]):
G {q\ 4\Е)ъ А ехр{i- S (}', q'\E) + ср), (1.5)
где А в ф - предэкспоненциальный множитель и фаза, а величина S(q",q'\E)
является действием классической частицы, движущейся с энергией Е из точки
q' в точку д":
п
г* N
S(q",q'\E)= j 2d?iPi(?:^)- M
i=1
I
Величины А и <p могут быть определены [156]. Их зависимость от координат
является медленной. Она приводит к малым поправкам в правилах квантования
и в дальнейшем учитываться не будет.
Следует отметить, что в формуле (1.6) точки q' и q" лежат на одной и той
же траектории. Поэтому интегрирование должно производиться по этой
траектории. Однако в том и только в том случае, когда число интегралов
движения равно N (т. е. числу степеней свободы системы), выражение (1.3)
