Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве соответствуют некоторые значения действия /0 и фазы Ф0. По
фазе происходит быстрое перемешивание. Поэтому через некоторое, не
слишком большое время точка на траектории, выходящей из (/с, Ф0), будет
иметь
222
значение фазы ft, близкое к Ф0. Тогда вследствие перемешивания по фазе
можно малым шевелением точки А добиться совпадения начальной и конечной
фаз. Однако по переменной I происходит медленная диффузия, и здесь
возврат происходит не только на значительно больших временных масштабах
(тв "те), но и совсем по другим законам. Именно этот процесс возврата по
переменной / и определяет характер возврата для всей системы в целом.
Если рассматриваемая гамильтонова система совершает финитное движение, то
по теореме Пуанкаре о возвратах (см. § 1.1) система всегда будет
возвращаться в любую окрестность точки А. Более того, если процесс
блуждания частицы аналогичен диффузионному, то распределение времени
возврата имеет характерный параметр Т0 такой, что вероятность возврата за
время t> Т" экспоненциально убывает [ 180]. Этот вывод является
следствием существования двух масштабов универсальности, или, иначе,
существованием по крайней мере двух переменных (/, Ф), по одной из
которых (Ф) случайный процесс носит характер быстрого перемешивания, а по
другой (/) - медленной диффузии.
§ 12.4. Правила квантования
Суммирование по периодическим орбитам. Правила квантования для ЛГ-систем.
Связь с приближенными циклами. Связь с теорией пересечений
Вернемся снова к формуле (2.1) для функции отклика:
где С - произвольная периодическая траектория /^-системы. Интегрирование
по q легко выполняется, если воспользоваться свойством однородности Я-
систем:
где SC(E) - действие на любой замкнутой траектории С, проходящей через А
Г. Обозначим через S°c(E) действие на одной орбите (цикле) замкнутой
траектории С. Всякая периодическая траектория может состоять из
произвольного чпсла таких циклов. Поэтому из (4.2) вытекает, что
g (Е) да const j dq 2 ехр j-sc (?, ЧI ?)]i
с=г
(4.1)
(4.2)
m=0 седГ
= const -V
223
Таким образом, полюса g(E) определяются уравнением
ехр [| $?(?)] = 1, (4.4)
из которого следует также
5с (Е) = 2я т%, (4.5)
где т - произвольное целое число.
Формулы (4.4) или (4.5) определяют правила квантования энергетического
спектра if-систем. Их внешняя простота обманчива. Величина S%(E) является
действием на случайной кривой, и поэтому сама является случайной
переменной. Таким образом, проблема квантования if-систем сводится к
задачам теории пересечения случайного процесса некоторой кривой. Прежде
чем описать ее более детально, отметим, что если в формуле (4.4) перейти
от замкнутой орбиты к приближенным циклам в ее окрестности шириной б Г,
то это дает
2 "р[т"?и]-<- "•">
сев г 1 J
Правила в форме (4.5) были получены в [73], а в форме (4.6) - в [136-138]
(ком. 5).
Итак, пусть известна вероятность того, что действие S(E) на замкнутом
витке периодической траектории (индексы С и 0 в дальнейшем опускаются)
принимает значения в интервале (S, S + dS) с плотностью вероятности
P(S\E). Тогда плотность вероятности того, что собственное значение
энергии лежит в интервале (Е, E + dE), равна
во
P(E)=^\dSP(S\E)mb(S-2 nmti). (4.7)
ТП-1
Число стационарных состояний JP(E) в интервале (О, Е) равно числу корней
стохастического уравнения (4.5), т. е.
с 00
Jf(E) = ]dE^b(S-2я т%) | |. (4.8)
о ms=1
Среднее число состояний находится усреднением выражения (4.8):
Е о,,
<Л° (?)> = | dE 2 f dS I 2ЦЭ 16 (S - 2nmTi) P (S | E). (4.9)
0 m=l
Наконец, средняя плотность состояний равна
оо
<Р(2?)> = ^<./Г(Я)> = 2 в($-2яв*)/>(5|Д),
m=l
(4.Ю)
224
что совпадает с вероятностью Р(Е), определенной формулой (4.7) (как и
следовало ожидать).
Формулы (4.9), (4.10) являются вариантом формулы Райса [181]. При
получении выражений (4.7), (4.9), (4.10) предполагалось, что производная
dS/dE снова может быть выражена как функция S и не является независимой
переменной. В противном случае выражения (4.7), (4.9) обобщаются
следующим образом
^ И = 2 j " й (g) 1116 (5 - 2я"*) Р (i, 11 г),
m=l
<Л°(Д)> =
Е ОО (4 11>
р (Е) = ±(Л>.(Е)'> = Р(Е).
Для любой ^-системы уравнения движения или отображения определяют все
свойства функции распределения /45ц?) или
•P(s, з§|я). Таким образом, формулы (4.7)-(4.11) принципиально решают
задачу о квантовании ^-систем в асимптотике-больших значений Е. Нас,
однако, далее будет интересовать более тонкая характеристика
энергетического спектра: распределение расстояний между ближайшими
уровнями.
§ 12.5. Распределение расстояний
между соседними уровнями
"Типичные" траектории и орбиты. Устойчивость случайной кривой. Закон
распределения малых расстояний между уровнями. Распределение
больших расстояний. Данные численного анализа
Общая постановка задачи о распределении энергетических уровней может быть
теперь строго сформулирована, исходя и" правил квантования (4.4) или их
приближенного аналога (4.6). Рассмотрим величину Sac(E), равную действию
