Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Менее ясным в настоящее время является вид волновых функций квантовых К-
систем. В работе [73] было высказано предположение о том, что при
разрушении интегралов движения и возникновении стохастичности
классических траекторий волновая функция квантовой Я-системы должна быть
случайной функцией координат. Иными словами, волновое гр-поле должно быть
случайным.
Аналитическое исследование волновых функций сложно из-за того, что вообще
в квазикласснческом приближении они определены недостаточно хорошо.
Впервые квазиклассические волновые функции были подвергнуты серьезному
критическому анализу Арнольдом [191] (см. также [16]). На основе
исследования специального примера Арнольд высказал гипотезу о
существовании в квазиклассическом приближении не мод, а "квазимодо. Это
означает следующее: с течением времени волновая функция все меньше
становится похожей на колебание (например, типа плоской волны), а
расползается достаточно быстро и превращается в квазимоду. Такие функции
с достаточной степенью точности удовлетворяют уравнению Шредингера, но
могут очень сильно отличаться от собственных функций. В случае квантовых
К-систем, как мы уже видели, такое "расползание" волновой функции и
превращение ее в квазимоду должны происходить экспоненциально быстро
вследствие локальной неустойчивости классических траекторий.
Не исключено, что быстрое превращение мод в "квазимоды" в случае
квантовых Я-спстем имеет два временных (или пространственных) масштаба.
Первый из них связан с образованием сложного рельефа волновой функции,
который, скорее всего, является квазислучайным. Наиболее естественным
представляется введение сглаженного оппсания такого поля. Сглаженное
волновое поле можно назвать "средним полем", и во многих отношениях оно
аналогично молекулярному полю в теории фазовых переходов второго рода.
Второй масштаб связан с медленной эволюцией среднего поля, вызванной
малыми или крупномасштабными отклонениями реального поля от среднего
поля, и с потоками "гидродинамического" типа.
§ 12.7. Стохастическое разрушение связанного
состояния атомов с полем излучения
Гамильтониан системы поле + атомы. Резонансное приближение и интегралы
движения. Разрушение интегралов движения
Рассматриваемый ниже пример интересен не только своими возможными
приложениями, но и как модель возникновения стохастичности при изменении
константы взаимодействия подсистем. Результаты, излагаемые ниже, следуют
работе [192].
235
Рассмотрим систему атомов, взаимодействующих с полем излучения. Пусть
система атомы + поле заключена в некотором объеме V. Одним из упрощенных
способов описания такой системы является так называемое полуклассическое
приближение, в котором атомы рассматриваются как квантовый объект, а поле
- как классический объект. Простейшей ситуацией является сведение атома к
некоторой двухуровневой системе, т. е. к системе, в которой возможна
только одна частота перехода ш. Тогда состояние i-го атома можно описать
с помощью волновой функции
где i|)(,) и 1|э(2) - собственные функции каждого из двух возможных
состояний атома, образующие базис, а величины a,-, bt являются
коэффициентами разложения по этому базису:
Введем разность заселённостей и дппольный момент атома:
где ц - матричный элемент дипольного момента атома. Для системы из N
атомов можно определить соответствующие плотности
Пусть поле излучения <S в резонансной полости V близко к однородному, т.
е. его длина волны X > У,/3. Тогда систему атомов можно описывать как
целое с помощью величин пит. Соответствующие уравнения движения имеют вид
п = А $т,
где частота безразмерного поля 8 (в отсутствие атомов) равна со и
совпадает с частотой атомного перехода (резонансный случай). Константа
взаимодействия А равна
а р = NIV - плотность атомов.
Система (7.4) сохраняет инвариантным так называемое кооперационное число
(7.1)
1а,12+1Ь"12 = 1.
(7.2)
N
N
(7.3)
<& + A arm,
т + а?т =--------^-Aa?Sn,
(7.4)
А = (16ярц7йш)1/2,
(7.5)
г = {пг + тг + то2/(c)2)172
(7.6)
236
и интеграл энергии
С = JL k2 + S2 + (г2 - т2 - то2/ю2)1/2 -\8т. (7.7>
со
Структуру системы (7.4) легко понять, если перейти к представлению
вторичного квантования:
& + S-~S-^cr,
п-+- Rz, т + -т -> R+, т------------ т-+ R~,
<о ' <о '
где с+, с - соответственно операторы рождепия и уничтожения фотона с
частотой to; Rz, R+, R~ - соответствующие матрицы Паули. Тогда интегралу
энергии (7.7) соответствует в новых переменных безразмерный гамильтониан
Я = Я0 + Яг + Явг, Н0 = с+с +Л',
(7.8>
Я, = A{R+c + R~c), H" = A(R~c + R+c+).
В выражениях (7.8) член Я0 описывает энергию свободного поля и свободных
атомов (в единицах %<а), член Я, соответствует резонансному
взаимодействию атомов с полем, а член Н" - анти-резонансному
взаимодействию.
Легко установить из (7.8) следующее соотношение коммутации:
[Но, Яг] = 0. (7.9)
Поэтому, если в выражении для Я пренебречь нерезонансным членом Н" (что
обычно и делается), то из (7.9) вытекают два закона сохранения:
