Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
на некоторой замкнутой (или почти замкнутой) траектории (орбите).
Траектория С принадлежит множеству замкнутых траекторий, которое
достаточно хорошо представляет полный ансамбль всех замкнутых траекторий.
Величина Sc (Я) является случайной величиной на множестве траекторий С.
Она зависит от Е как от параметра. Нас, однако, интересуют не все
значения Е, а лишь те, которые являются корнями уравнения (4.5). Нашей
ближайшей задачей будет определение закона распределения расстояний между
соседними корнями ДEh = Ek+1 - Ek, которые расположены в порядке
возрастания.
15 Г. М. Заславский
225
В общем случае задача о распределении расстояний между двумя точками, в
которых случайная кривая последовательно пересекает некоторую кривую,
является непростой (см., например, [182]). В данном случае усложнение
связано с тем, что переменная S°c не есть также совсем обычная случайная
переменная, так как она определяется на замкнутых орбитах, а не на
траектории, представляющей случайное блуждание. Поэтому более
естественным представляется использовать сначала качественные соображения
для получения ответа [136, 137].
В § 12.3 мы уже описывали некоторые свойства периодических орбит в
реальных /^-системах. Вследствие универсальности Я-систем можно для
конкретности иметь в виду некоторую наглядную модель. Пусть, например,
это будет биллиард со стохастическими траекториями частиц в нем.
Траектория частицы порождает последовательные отображения динамических
переменных задачи (см., например, Дополнение 1). Изменение распределения
по действию подчиняется диффузионному уравнению типа (Д1.13). Для
достаточно больших периодов замкнутых орбит плотность вероятности первого
возврата в заданную область (<S, S + dS) за время т пропорциональна
величине [180]
(5.1)
где AS - изменение действия за время At одного шага отображения. Эта
функция имеет резкий максимум вблизи значения
S(E) ~ <AS/At>j. (5.2)
Введем понятие "типичного цикла", т. е. такой замкнутой (или близкой к
ней) траектории, в окрестности которой сосредоточена функция
распределения всех периодических траекторий. Поскольку нас будет
интересовать область больших значении энергии, то это соответствует
большим значениям S. Например, в биллиардных задачах S ~ Е1П. Кроме того,
большим значениям S должны соответствовать н большие номера т в формуле
(4.5).
Итак, пусть для "типичного цикла" квантовое число т. имеет значение m0 >
1. Тогда для действия "типичного цикла" частицы с энергией Е
S(E) = 2пЪт0. _ (5.3)
Этой величине соответствует "типичное время" цикла т, которое оценивается
с помощью формулы (5.2). Существование времени т будет иметь для нас
фундаментальное значение. С ним связана также "типичная длина" Т одного
цикла.
Пусть теперь Е + АЕ соответствует ближайшему к Е уровню. Аналогичные
рассуждения дают для "типичного цикла" с энергией Е + АЕ формулу типа
(5.3):
§(Е+АЕ) = 2п%пги (5.4)
где целое число ти вообще говоря, не очень сильно отличается
226
от m, и в то же время mi Ф тй. Основное следствие из формул
(5.3) и (5.4) состоит в том, что
I5CE + АЕ) - <S(.E)! = 2rih\m,i - m0l > 2лЪ, (5.5>
т. е. разность действий для двух типичных циклов, соответствующих двум
соседним уровням, отстоящим на величину ДЕ, не может быть меньше, чем
2лА. Дальнейшие рассуждения покажут, что именно из этого неравенства
находится асимптотика вероятности Р(Е\АЕ) при Д.Е-"-0.
Действительно, вид траектории зависит от энергии Е как от параметра.
Зафиксируем "типичный цикл", соответствующий энергии Е, и возмутим теперь
в нем параметр Е на малую величину ДЕ. Поскольку типичному цпклу
соответствует, как уже отмечалось, некоторое типичное время цикла т, то
возникает следующий вопрос: как при сколь угодно малых возмущениях
параметра траектории (ДЕ 0) полупить на конечном интервале времени (~т)
конечное изменение действия >2л7&? Ясно, например, что это невозможно в
случае устойчивых траекторий, так как изменение действия AS при переходе
от значения энергии Е к Е + АЕ должно стремиться к нулю при АЕ -+0 и
никаким образом нельзя удовлетворить неравенству (5.5). Существенную роль
в устойчивом (не стохастическом) случае играет также то обстоятельство,
что время цикла т (Е) однозначно определено. Уже из приведенных
рассуждений ясно, почему расталкивание уровней должно быть сильнее в
устойчивом случае (т. е. при существовании полного набора интегралов
движения), чем в неустойчивом (стохастическом) случае, где время циклов
т(?') распределено случайным образом (см. формулу (5.1)) и, кроме
типичных циклов с типичным временем возврата т, есть любые нетипичные
циклы с произвольными т(.Е). Поэтому чем сильнее неустойчивость
траектории относительно малых возмущений ее параметров, тем слабее
расталкивание уровней.
Итак, при АЕ 0 нельзя подобрать "типичный цикл" с энергией Е + АЕ такой,
чтобы удовлетворить неравенству (5.5). Однако условие (5.5) можно
выполнить, если цикл с энергией. Е + АЕ является нетипичным (т. е.
