Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
^пш с точностью до членов порядка V2. Это означает согласно (1.8), что
функцию Грина необходимо вычислить с точностью до членов порядка V.
Отсюда следует, что в правой части выражения (1.8) можно заменить G на
G0, которое определено формулой (1.7). Элементарное вычисление величин
А(tm)п дает
Рпп (0 = Рпп (0) +
+ Л2 2 ft-1
drUnk (т)
[Pftfc (0) - Рпп (0)1 + ФПп (t, 0). (1.15)
В следующем параграфе проводится вычисление Ф-коррелятора.
§ 11.2. Вывод кинетического уравнения
Функция Грива в квазиклассическом приближении. "Огрубление" матри> цы
плотности. Затухание Ф-коррелятора и ослабление корреляций. Переход к
кинетическому описанию. Пример
Оценим Ф-коррелятор в квазиклассическом приближении. Квазиклассическая
функция Грина имеет вид [156]
(r) (?> ^ I ?о" ^о) =
= 2 (?'*1 Qv *о) ехР {l Si (?> * I ?о. h) - '2~ я}* (2-1)
где предэкспонепциальный множитель S>i равен
(2тК)^г
дЧ dq0
1/2
Si - действие на 1-й траектории классической частицы с гамильтонианом
(1.1); q и q" - координаты траектории в моменты времени t и t0
соответственно; ц, - индекс Морса на 1-й траектории; суммирование по I
означает суммирование по всем траекториям, удовлетворяющим указанным
граничным условиям. После под-
202
стаповки выражения (2.1) в формулу (1.8) получаем
ОО
Gmn ($1 to) ~ 2 j* ^ dQo& l (?" ^ I 00" ^о) Фп* (?) фп (?0) X
X ехр Ji- Si (q, 11 q0, t0) - у 1>,Я
(2.2)
Перейдем теперь в выражении (2.2) от переменных (р, q) к переменным (/,
О). В квазиклассическом приближении можно ввести операторы действия и
фазы:
1-<*"¦ *-*•
В этом представлении Я0 = Я0(/), и собственные функции оператора Я0 имеют
вид
Фт({" = ехр (imb)/( 2я)1/г, (2.3)
УЧ
а собственные значения оператора I равны
/т =- т%. (2.4)
Выражение (2.2) принимает вид гл
Gmn (t, t0) = 2 j dQd%S>i (0, 11 tf0, t0) exp {- tmtf + in$0 4 1 о *•
+ <2-5)
&i (#, * I к *o) (?. <1 ?o. "о) I d-^lM
e(0,d0)
где индекс Z при якобиане преобразования указывает на то, что его
вычисление следует проводить на Z-й траектории.
Из формулы (2.4) следует, что условие квазиклассичности означает в
выражении (2.5): те" 1, га" 1. Это позволяет провести дальнейшие
упрощения, используя метод перевала. Для эстре-мальных траекторий в
выражении (2.5) получаем
(2.6)
Из классической механики известно, что
_/w. ,2.7)
Сравнение выражений (2.6) и (2.7) показывает, что в интеграле
(1.5) следует оставить только такие траектории, которые определяются
следующими начальными и граничными условиями.
203
моменту времени t0 соответствуют значения (/", О0), а моменту времени t -
значения ft). Уравнение (2.5) переходит в следующее:
Gmn (*, t0) " 21* exp {- imft + inft0 + 1 smn (ft, 11 ft0, t0)J,
где явныЗ вид предэкспоненты S) в дальнейшем не понадобится; сумма
берется по указанным выше траекториям; Smn - действие на этих
траекториях. Подстановка Gmn(t, t0) в (1.9)-(1.11) дает следующее
выражение для матрицы плотности:
Pnm(f)=? SS^*(1)^(2)X P"fl-1 tr(i) tr(2)
X exp {imft(1) - inft<2) - tpft(01} + iqft(02) -
- j Sw ("(1). 1I "S°. to) + { ("<2). 11 "о)} Рря (<o). (2.8)
Здесь a 3){i) и S>(2) медленно меняются со временем в
квазиклассическом приближении. Уравнение (2.8) является исходным для
построения кинетического уравнения. В соответствии с обычными принципами
получения кинетического описания системы следует ввести некоторую
операцию огрубления матрицы плотности. Из (2.8) видно, что матрица p"m(f)
определена на множестве волновых пакетов, центры которых движутся по
траекториям, удовлетворяющим определенным начальным п граничным условиям.
Поэтому огрубление можно провести, напрпмер, с помощью замены
гя
(2.9)
tr о
Применение оператора (2.9) к выражению (1.8) дает для огрубленной матрицы
плотности pnm:
2Л 2Л
~рпт {t)=ih?II d^)pnm {t) =
л' о о
00
= 2 (l)lz> (2) R (m, n, t\p, q, t0)ppg(t0), (2.10)
P. 9=1
где обозначено
2Л 2Л
Л (т, п, tip, q, t0) = j dft^ J dft\i2) x
0 0
X exp - in0(2) - + i<?Oo2) -
- 4 (0<1)'11 °o1), <o) -S% (0(*\ * | 0<2), "")]). (2.11)
204
Быражение для R также может быть упрощено, если принять снова во
внимание, что в квазиклассическом приближении S/% > 1. Воспользуемся
разложением
sSfta(r), 11 o(02)t g " s$(a(1), * I e"", О +
""¦')">"' _ о+
("'"•<iИ".О,, ,. MSfo'1"'11,,
т 57-----------(7n - 1m) H-----------Jf-------------\*q - Avh
UIm v*p
(2.12)
Используя формулы (2.6) и известные соотношения классической механики,
преобразуем выражение (2.12) в следующее:
SW2\ 110(o2), t0) - s<&(0(1), t1 *<", О "
" 7m (fl(2) - d(1)) - Ip (0<2) - *<") + 0(1) (/" - 7m) - > (7, - Ip)
+
+ & = - p%$o2) + (re - 2m) - (g - 2p) + 6, (2.13)
где б - слабо зависящая от О величина. В дальнейшем ее конкретный вид нам
не понадобится. Подстановка выражения (2.13) в (2.11) дает
2Л 2Л
R (иг, n,t\p, q, t0) " -i-j j j df><j2) X
0 0
X exp {i (m - n) (0(2) - 0(1)) - i(p - q) (0<2) - O(0o) + *6) =
= eie|$Z(m - nJlp - g,g|2, (2.14)
где использовано уже известное выражение для корреляционной функции фаз:
2Л
