Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Й(Г, * 15, to) = ^ j dO0 ехр {i (rd - "&")}• (2.15)
о
Выражения (2.14), (2.15) являются, в определенном смысле, окончательными,
так как возможные значения коррелятора фаз 91 определяют все дальнейшие
свойства системы. Действительно, функция 91 является типичным
коррелятором фазы 0(f) в момент времени t и фазы O(f0) = О0 в момент
времени t0, поскольку О и О, лежат на одной и той же классической
траектории (см. § 4.1). Формула (2.15) совпадает с (4.1.15). Как было
показано в § 4.1, для систем рассматриваемого типа величина \9l\ ~ 1,
если критерий стохастичности не выполняется. В этом случае величина R
также порядка единицы и недиагональные элементы не затухают (согласно
(2.14)). Это, з частности, показывает, что сама по себе процедура
огрубления (равно как и квантовомехани-
205
ческое усреднение) не приводит к затуханию корреляций и, следовательно, к
возможности сокращенного описания системы - обстоятельство, отмеченное
для квантовых систем еще Крыловым [42]. Если, однако, система является ^-
системой, то положение меняется. Согласно (4.1.17) имеем
ехр
t>t
о"
(2.16)
где т" - время расцепления корреляций фаз (время перемешивания). Согласно
формулам (2.14) и (2.15) при t" те отличными от нуля остаются лишь такие
компоненты R, для которых т = п, р = q. Обращаясь к выражению (2.10), мы
видим, что при t" те затухают (экспоненциально быстро) все недиагональные
компоненты матрицы плотности. Поэтому время тс есть время ослабления
корреляций.
Перейдем теперь к получению кинетического описания системы, используя
свойство ослабления корреляций для квантовых ^-систем. В уравнении (1.12)
от времен (f, 0) перейдем ко временам tb, ta (tb > ta) и примепим к нему
оператор огрубления (2.9). Это дает
*ь
Pnn (*ь) - Pnn (*а) + ¦?§¦ 2 h=l
X
где
J dxUnh(x)
*а
X [Pftfc (^а) - Pnn (^а)] + Фпп (^Ь> ^а)> (2.17)
Фпп (^Ь* ^а) "
00 _____________________________________
= 1 2 [р"9 (*а)АРЯР (*Ь, ta) ехр Enta^J - К. C.j +
00
+ F 2 Р"(*-)45? (tb,ta)A'qr(tb, ta). (2.18)
p.e=i1 (у*"")
p,9,r,*-1 <T+t)
Из выражений (2.18) и (2.16), (2.14), (2.10) следует, что при
ta> Те
Ф"" ~ ехр (-tjxe).
Таким образом, уравнение (2.17) может быть переписано в виде
<*Рпп 1 "1 / - - \
ft *2 wnh\Phh Pnnji
h=l
где p"n = pn"(i), индекс а при ta опущен и
Wnh = дГ
t+M
J dx Unh(x)
(2.19)
(2.20)
206
Уравнение (2.19) совпадает по форме с кинетическим уравнением Паули. Его
вывод, данный выше, содержит две особенности. Во-первых, использовано
свойство перемешивания Х-систем по фазам. Это свойство приводит к потере
памяти о начальных условиях и к быстрому затуханию за время порядка хс
недиагонадь-ных элементов матрицы плотности. Тем самым не возникает
необходимости использовать априори предположения о случайности фаз. Во-
вторых, кинетическое уравнение (2.19) получено для определенным образом
огрубленной матрицы плотности. Сам способ огрубления также следует из
свойств Х-систем, так как операция огрубления производится по той же
переменной, по которой происходит быстрый процесс перемешивания.
В качестве примера получения вероятности перехода wnk для квантовой Х-
системы рассмотрим для гамильтониана (1.1) выражение (9.2.8). Тогда
потенциал V(q, t) является периодической функцией t с периодом Т и может
быть представлен в виде
ОО
^ (9. О = 2 Vv (q) ехр [ivQf], Q = 2яIT.
V=-оо
Из определений (1.3) н (1.4) следует 00
Unh(t)= 2 U"к (v) ехр [i (vQ + a>nh) t],
V=-оо
где
UnkM = e<nl Vv(g)lfc>.
Подстановка этого выражения в (2.20) дает
Юпк = я 2 I Unh (v) |г6 (vQ + (Dnfc). (2.21)
V=-оо
Классическая динамика задачи с гамильтонианом типа (9.2.8) рассмотрена в
гл. 4 (§ 4.1). Время тс = const • T/lnК (формула (4.1.19)). Используя
явный вид V(q,t) в (9.2.8), находим, что
UnkM - eVn* и не зависит от v. Таким образом,
dn j 00 00
-ЗГ = ?г2 2 l^nfc|2(pftft-Pnn)fi(vQ-(0fcn), (2.22)
h=l V=-оо
где аргумент б-функции показывает, что в кинетическом уравнении
отбираются только те переходы, которые находятся в резо-
нансе с внешним возмущением.
Уравнение (2.22) описывает хорошо известный процесс релаксации
диагональных компонент матрицы плотности к равновесному распределению
Рпп " Ро
207
для всех п. Согласно (2.21) этот процесс имеет характерное время
релаксации порядка 1 /wnh.
В заключение этой главы следует сделать одно замечание общего характера
по поводу приведенного вывода кинетического уравнения. Оно связано с
использованием условия квазиклассичности и с предположением, что параметр
? достаточно мал. Как известно из § 9.5, именно это условие (см.
(9.5.37)) обеспечивает существование стохастичности классического типа в
квантовых ^-системах. Однако неясным остается чисто квантовый случай (? ^
1, либо достаточно большие времена при ? < 1). Если в такой системе
отсутствуют случайные параметры и на нее не действуют случайные силы, то
вопрос о том, как возникает сокращенное статистическое описание в
существенно квантовом случае, в настоящее время остается открытым.
