Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
систему. Пусть также в результате перемешивания устанавливается
равновесная функция распределения ри(х). Аналогично введем динамическую
систему в том же пространстве (х) с динамикой, определяемой
преобразованием Тт, и с равновесным распределением fm(x). Тогда
динамические системы {Tw(x); х) и {Тт{х)\ х) являются изоморфными, если
существует взаимно однозначное отображение Q области Г(1,(х) фазового
пространства одной системы на область Г<2)0с) фазового пространства
другой системы такое, что выполняются равенства
/(,)(фс) = /(2>Ы, QTwx = TwQx.
Последнее условие означает эквивалентность следующих двух путей перехода:
х Twx QTwx,
x-"Qx-+ TwQx.
Кроме того, следует исключить из областей (х) u Q(x) некоторые множества
нулевой меры.
Приведенное выше определение изоморфизма динамических систем является не
очень удобным, так как отображения Т для реальных динамических систем не
обладают, как будет видно далее, однозначностью в сторону t < 0. Если,
однако, в определении изоморфности двух динамических систем снять
требование взаимной однозначности отображения Q, то тогда, например, в
гамильтоновом случае, как показал Синай [212, 213],
h(Tw) = h(Tm).
Такие системы называются слабо изоморфными. Мы, однако, в дальнейшем
будем всюду пользоваться термином "изоморф-ность" вместо термина "слабая
изоморфность". Итак, изоморфные динамические системы имеют одинаковую
энтропию. В действительности для реальных динамических систем понятие
изо-морфностп нуждается еще в ряде уточнений, которые мы сделаем позже.
Как энтропия достигает максимума? Ответ на этот вопрос позволяет выяснить
еще одну особенность определения /?-энтро-пии. При е -*• 0, т. е. при
определении S(t) = ht (t -*¦ °о) со сколь угодно большой точностью,
энтропия S максимума не достигает. Положение меняется, если зафиксировать
конечный порядок огрубления е0. Тогда из (6.9) можно найти время 10, в
теченне которого область ДГ0 = е0 расширяется до значення
3* 35
ДГ = 1:
*.=4lnf- <6-13>
о
За время (6.13) фазовая капля е0 равномерно растекается по всему фазовому
объему, п дальнейший рост энтропии прекращается.
§ 1.7. Псторвческпе замечания
Обоснование статистической фпзикп. Парадоксы Церыело и Лошмидта.
Взгляды Больцмана и Эренфеста. Еще раз о перемешивании. Принцип
дополнительности Крылова
С момента появления 17-теоремы Больцмана (1872 г.) прошло более ста лет,
но дискуссии вокруг вопросов, которые принято объединять под названием
"обоснование статистической физики", не утихают до сих пор. Первоначально
эти дискуссии концентрировались главным образом вокруг двух парадоксов,
высказанных Цермело и Лошмидтом. Дадим описание этих парадоксов в сжатой
форме.
Парадокс возвращаемостп (Цермело). Согласно теореме Пуанкаре о возвратах
любое состояние системы, рассматриваемое как начальное, должно через
некоторое время (время возврата) почти повториться с любой заданной
точностью. Энтропия в момент возврата должна почти совпасть с начальной
энтропией, что противоречит следствию 17-теоремы Больцмана о возрастании
энтропии.
Парадокс обратимости (Лошмидт). Уравнения движения механики обратимы во
времени. Поэтому можно представить себе последовательность состояний zt,
z2, ..., zn эволюции системы и, в равной мере (в силу обратимости
уравнений движения), последовательность состояний zn, ..., z2, zi.
Состоянию z{ сопоставляется энтропия St. Тогда, если в одной из
последовательностей состояний энтропия возрастает, то в другой она
убывает, что противоречит //-теореме.
Сейчас, знакомясь с ответами Больцмана, можно лишь удивляться тому,
насколько глубоко он уже в то время представлял основные принципы
созданной им кинетической теории. К сожалению, в силу чисто объективных
причин еще не существовала возможность создать достаточно четкую и
строгую схему описания статистических явлений. Теория Больцмана
подвергалась жестокой критике и постоянным нападкам, что, как иногда
считают, послужило одной из причин его трагической гибели. В предисловии
ко второму тому своих "Лекций по кинетической теории газов" (1904 г.)
Больцман писал (см. Ансельм А. И. Основы статистической физики и
термодинамики.- М.: Наука, 1973):
"Я убежден в том, что нападки эти основаны на недопонимании и что
значение кинетической теории до спх пор просто не
36
осознано. По моему мнению науке будет нанесен сильнейший удар, если те,
кто стоит в оппозиции к кинетической теории в настоящее время, сумеют
предать ее забвению, подобно тому, как это произошло с волновой теорией
света благодаря авторитету Исаака Ньютона. Я вполне отдаю себе отчет в
бессилии человека перед лицом мнения, разделяемого большинством. Для
того, чтобы была уверенность в том, что когда человечество вернется к
изучению кинетической теории, ему не придется снова переоткрывать уже
известные вещи, я постараюсь изложить наиболее трудные и непонятные
разделы теории как можно яснее".
В обоснование статистической механики обычно включаются формальная и
