Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
менее многообразие вложенного в него содержания удалось понять
сравнительно недавно. Введем понятие корреляционной функции. Пусть / п g
- две произвольные интегрируемые функции динамических переменных z. Тогда
Ж/, g\T) = (STU *>-</><*>, (5?)
ад, g) = <5"/, g> - </><g>
соответственно для непрерывного и дискретного времени. Формально свойство
перемешивания выражается в следующем условии:
lim # (/, g | Г) = 0, lim Яп (/, g) = 0, (5.8)
Т-*оо п-*оо
которое хорошо известно в физике как условие расцепления временных
корреляций. Если рассмотреть каплю "фазовой жидкости", то ее движение в
фазовом пространстве носит при перемешивании очень сложный характер (рис.
1.15). Граница капли быстро принимает неправильную аыебообразную форму. С
течением времени форма границы сильно усложняется, а сама капля быстро
заполняет различные области фазового пространства. Объем капли при этом
сохраняется (в силу теоремы Лиувилля), и заполнение фазового объема
происходит за счет вытягивания и утоныпения отростков каплн.
Из условия перемешивания (5.8) автоматически следует свойство
эргодичности (5.4)-(5.6). Различие между только эргодиче-
ским движением и движением с перемешиванием проще всего понять из рис.
1.16. В эргодпческом случае без перемешивания траектория последовательно
заполняет фазовое пространство с той же методичностью, что н периодически
опускающийся и подымающийся маятник. Совсем иной характер за-Рис. 1.15.
Расплывание капли в фазовом полненпя фазового простран-пространстве при
перемешивании. ства имеет мест0 при пе_
ремешнвании. Сначала за некоторое время Т система достаточно равномерно
покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время 2Т это
явление примерно повторится, причем таким образом, что размеры ячеек
сетки окажутся приблизительно в два раза меньше, и т. д.
28
Формально приведенное различие выражается в характере спектра системы.
Для этого введем спектральную плотность
ео
& (fi f \ Т) - j eiu>T& (a) dot.
-ео
В случае эргодического движения без перемешивания спектр 52(<в) -
дискретный, т. е.
= 6(a> - a>h),
к
в то время как при перемешивании спектр непрерывный.
i-Т t=2Т t -Т t-2T
Рис. 1.16. Различие между эргодическим движением (а) и движением с
перемешиванием (б).
Даже при беглом взгляде на рис. 1.15, 1.16 мы обнаруживаем, что свойство
перемешивания должно быть тесно связано со свойствами неустойчивости
динамических систем. Эта особенность перемешивания была отмечена Хопфом
[40] при анализе движения в пространстве отрицательной кривизны. Однако
четкое и наиболее полное понимание роли неустойчивости в возникновении
перемешивания было достигнуто Н. С. Крыловым [42], который применил эти
понятия к проблеме обоснования статистической механики и к конкретным
физическим моделям (ком. 7).
Рассмотрим сколь угодно малую ячейку фазового пространства. При
перемешивании она должна расплываться по всему фазовому пространству. Это
означает, что точки, которые в начальный момент были близки между собой,
с течением времени удаляются друг от друга и начинают двигаться
независимо. Поэтому свойство перемешивания естественно ожидать у таких
неустойчивых систем, у которых траектории с течением времени быстро
удаляются друг от друга. Иными словами, сколь угодно малые возмущения
начальных условий приводят к сколь угодно сильному уходу фазовой
траектории системы от своего невозмущенного значения. Если фазовое
пространство системы является конечным (хотя бы по одной переменной), то
фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на
характерный размер пространства и начинают запутываться. Описанный тип
неустойчивого движения называется локальной неустойчивостью. Если
обозначить через D(t) расстояние между двумя точками в фазовом
пространстве, принадлежащими разным
29
траекториям в момент времени t, то формальное определение локальной
неустойчивости выглядит следующим образом: существует направление, в
котором
D(t) - D (0) еЛ°4, (5.9)
где инкремент неустойчивости Л0 является, вообще говоря, функцией точки в
фазовом пространстве.
В дальнейшем мы увидим, как из свойства локальной неустойчивости (5.9)
следует сразу свойство перемешивания
0l(t) ~ exp (-hct), (5.10)
где величина
Лс = 1/т (5.11)
имеет смысл обратного времени расцепления корреляции и
hc~<h0>. (5.12)
Принципиальное значение соотношения (5.12) в том, что установлена связь
между статистическими свойствами системы (hc) и ее чисто динамической
характеристикой h". Иными словами, можно узнать, когда регулярное
(например, условно-перио-дическое) движение системы разрушится и движение
станет перемешивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при
котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9).
Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической
неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной
неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме
