Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(т<1) нет необходимости оценивать 52". Достаточно найти только 32,.
Попробуем теперь взглянуть на отображение (1.15) с точки зренпя
устойчивости движения. Для этого подействуем отображением Т на очень
малый интервал бх0. Из (1.15) видно, что §xJbx<>=zK (1.24)
и, следовательно, при К > 1 отображение Т является отображе-48
^s.
нием растяжения. Пусть 6х0 1/Я. Тогда отображение Т, при-
мененное п раз, дает
Ьхп = К"6х" = exp (п In К)6х0. (1.25)
Выражение (1.25) описывает развитие локальной неустойчивости в фазовом
пространстве с инкрементом
Л0 = 1пЯ. (1.26)
В данном примере имеет место точное равенство
Л.= 1/т (1.27)
в соответствии с утверждением в § 1.6. Если рассмотреть точки на очень
малом интервале 6х0 < 1, то можно с помощью формулы (1.25) указать время
щ, через которое траектории, выходящие из этих точек, разбегутся далеко u
равномерно заполнят единичный интервал. Для этого надо в (1.25) положить
бх"о~ 1, что дает
1п1/6х 1,1 ,л ояч
п0 = -пгг- = т1пбг0- ( }
Физическое содержание времени п0 в том, что это время установления
стационарного распределения. Из (1.22), (1.26) - (1.28) следует
соотношение характерных времен задачи:
т<Г<т0) (1.29)
где переобозначено т0 в п0 и 1 = Т. Неравенства (1.29) являются типичными
для кинетической теории (пли, точнее, для тех задач, для которых
кинетические методы достаточно успешно развиты).
Подчеркнем еще раз последовательность времен в (1.29) в порядке их
убывания: время установления стационарного состояния > времени между
столкновениями •> времени потери памяти о начальных условиях. Мы
несколько изменили терминологию относительно времени т для того, чтобы
вложить в него смысл, часто встречающийся в физике. Это соответствует п
существу вопроса. Действительно, как уже отмечалось, память о состоянии
после какого-либо столкновения забывается к следующему столкновению, что
формально выражено формулой (1.23).
Все приведенные выше результаты показывают, сколь богатым с точки зрения
физических ситуаций оказывается отображение (1.15), которое мы будем
называть отображением растяжения. В действительности исчерпаны еще не все
возможности, связанные с его анализом. Прежде чем отправиться дальше,
полезно пояснить, почему мы придаем этому отображению столь большое
значение. Возникновение локальной неустойчивости должно сопровождаться
разбеганием траекторий в фазовом пространстве. Процесс разбегания должен
сопровождаться растяжением границ очень малых интервалов. Очевидно, что
простейшим
4 г. М. Заславскмй
49
случаем является тот, при котором коэффпциент растяжения является
постоянным. В данном случае это так, и аналогично
(1.24) можно записать
баг"+1 = КЬхп.
Таким образом, параметр К играет роль коэффициента растя* жения. Через
коэффициент растяжения выражаются все характерные времена задачи.
Перейдем теперь к анализу равновесной функции распределения р(х) для
отображения (1.15) при условии перемешивания. Почти все результаты,
следующие ниже, были получены Реньи 158J. Мы, однако, снова будем
пользоваться приемами, типичными для физики.
Обозначим хп = у, x"+t = x. Отображение (1.15) переписывается в этих
обозначениях так:
х = Ту = {Ку}.
Разобьем область пзмепенпя у(0, 1) на интервалы
4.-(О, 4-),
А[К1+, = (ф, l), где
Тогда точки каждого из интервалов Д( (i - 1, 2, ..., [?]) отоб-
Еажаются под действием преобразования Т на интервал (0, 1). [ли, иначе,
область (О, 1К\/К) переменной у отображается на область (0, 1) переменной
х. Если [?]=/?, т. е. К - целое, то из последнего утверждения следует,
что отображение Т сохраняет меру (фазовый объем).
Рассмотрим теперь некоторую точку ie(0, 1). Система может прппти в нее из
любого из следующих значений у:
X д 1+1 _ Л
^ ^ S /^2? • • • >
х + |АГ| - 1 _ * х+[Я|_А ^'30^
----К------е Д[к]. --ц- ^ Д[К]+1.
Отсюда следует, что в стационарном случае значение вероятно-
сти в точке х должно равняться сумме значений вероятности в точках
(1.30). Однако возникает усложнение, связанное с тем, что в интервале
Д(к1+1 могут находиться только такие значения у, образом которых являются
значения
х е (0, Ш). (1.31)
Если же
хе(Ш, 1), (1.32)
50
то допустимыми интервалами для прообразов являются
Д., Дг> • • ч Д[*]-
При этом значениям х (см. (1.32)) соответствуют прообразы
определенные соответственно для областей (1.31), (1.32). Тогда в силу
сказанного можно записать
где появление множителя 1 /К связано с якобианом преобразования элементов
длпны (dx = К dy) и предполагается, что К лежит в области
Если условие (1.34) не выполняется, то второе уравнение в (1.33)
изменится (при этом в определенных местах в правой части функции pi
заменятся на р2).
В том случае, когда {Ю = 0, область (1.31) исчезает, а уравнение для
р(:с), 0 < лг < 1, имеет вид
Нетрудно видеть, что система (1.33) имеет приблизительно то же решение
при К> 1:
Структура точного решения очень сложна, и для физических целей нам
достаточно будет приближения (1.35), определяющего равномерное
