Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 18

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 102 >> Следующая

описания. однако опа практически невозможна ввиду сложности движения.
Поэтому в случае ^-систем мы сталкиваемся с необходимостью (можно
сказать, также и с приятной возможностью) перейти к сокращенному (и,
следовательно, необратимому) оппсанпю спстемы ценой потери некоторой
информации, которая зачастую оказывается и ненужной пли просто
недостижимой.
ГЛАВА 2
КРИТЕРИЙ СТОХАСТИЧНОСТИ
Понятые критерия стохастичности вошло в физические исследования
сравнительно недавно. Его появление означает, что прошло то время, когда
переход от регулярного движения системы к случайному разделяла неведомая
пропасть. Современные методы позволяют иногда составить из параметров
системы такую безразмерную величину К, что если К < 1, то движение сп-
темы устойчиво, а если
К7э 1,
то движение системы становится перемешивающимся. Это неравенство и
называется критерием стохастичности (или, иначе, критерием стохастической
неустойчивости). Его определение не является достаточно простым делом, и
обычно критерий стохастичности находится из полуколичествеиных,
полукачественных, а зачастую из численных исследований. По существу,
именно этим вопросам посвящена основная часть книги (гл. 3-12).
Заметим, что когда мы говорим о критерии стохастичности, то речь идет об
определении очень непривычного свойства системы - такого значения
некоторого параметра, которое разделяет два разных типа движения:
регулярное и случайное. Поэтому далеко не праздным является вопрос о
существовании моделей, для которых свойство перемешивания устанавливается
точпо. Некоторые из таких моделей будут рассмотрены в этой главе. Мы
отобрали те из них, аналогия с которыми позволит перейти к реальным
физическим системам.
§ 2.1. Две модели перемешивания
Неправильные дроби и стохастичность. Преобразование растяжения.
Стационарная функция распределения
Рассмотрим один из классических примеров появления случайности -
разложение числа 0 < х < 1 в непрерывную дробь [8]:
*=----------------Ц-. (l.i)
"до в< - положительные целые числа. Нетрудно получить для
42
cii следующие выражения:
(1.2)
где скобки {...} обозначают дробную часть аргумента. Обозначим
Из уравнения (1.5) следует, что все коэффициенты разложения в непрерывную
дробь выражаются через нулевой коэффициент, аргумент в котором
составляется по определенному правилу. Это правило выражается уравнением
(1.6), которое имеет форму уравнения движения в конечных разностях, а в
качестве начального условия выбирается сама дробь х.
Основное утверждение (о доказательстве его см. пиже) состоит в том, что
последовательность хп, определяемая динамическим уравнением (1.6),
является случайной. Поэтому можно поставить вопрос, как распределены х"
при п ->-<". Это есть не что иное, как вопрос о виде стацпопарной функции
распределения р(х), причем
Прием, используемый ниже, состоит в составлении уравнения движения для р
с использованием уравнения отображения (1.6). Рассмотрим произвольный
интервал А с концами в точках (а, |1), О < а < 0 < 1, п
т. е. вероятность того, что значения х попадают в интервал А.
Т(х) = {1/а:}.
(1.3)
Тогда сравнение (1.2) п (1.3) дает возможность записать at(x) = а0(Т(х)),
аг(х) =а,(Т(х)) = а0(Т2(х)),
(1.4)
Введем обозначения
"п-иЫ ~ flo(^n+|)i
(1.5)
(1.6)
?n+i - Т {хп) - {!/*"}, Хд -- х.
1
(1.7)
а
Определим меру на А:
(1.8)
а
43
Пусть первый интервал Ап+1 состоит из точек xn+t в "момент времени" t = n
+1. Их мера есть ц(4"+1). Рассмотрим прообраз этих точек, т. е. точки
xn = f-,(xn+i). (1.9)
Их мера по определению равна
ц(4") =* n(r-'4n+i). (1.10)
Условие стационарности функции распределения р(я) согласно
(1.8) и (1.10) означает, что
jiU"+1) =• ц(Г-14п+1)
шли просто
цШ = ц(7Ч4). (1.11)
Задача теперь заключается в том, чтобы записать правую часть уравнения
(1.11) в явном виде. Согласно уравнению движения
(1.6) границе интервала х = а соответствует прообраз
г>-К- 1
т-\- а
где m может принимать любое целочисленное положительное значение:
т = 1, 2, ...
Действительно, полагая яп = 1/(/га + а), из (1.6) находим яп+1 = = а.
Аналогично,
Это означает, что значения х попадают в интервал А = (а, [}), если
прообраз х находился в интервалах
(г+Р* 1+а)' {2 + р' 2+^)' • • * ^,12^
Поэтому уравнение (1.11) с учетом (1.12) п (1.8) может быть переписано в
виде
В 00 1/(т+а)
j p(x)dx= 21 j р {x)dxt (1.13)
а m==11/(т+Р)
где использована теорема сложения вероятностей. Несмотря на несколько
сложный вид уравнения (1.13), его решение, удовлетворяющее условию
нормировки (1.7), известно:
Р^ = Ш2гЬ' (1Л4)
в чем можно убедиться прямой подстановкой (1.14) в (1.13).
Результат (1.14) был известен еще Гауссу. Для физиков, по-
видимому, приведенный пример является несколько абстракт-
44
вым. История, однако, неоднократно демонстрировала вечную ценность
простых и изящных моделей. Недавно преобразование
(1.6) возникло при анализе решений гравитационных уравнений движения
Эйнштейна вблизи особенности [55].
Следующий пример, на котором мы остановимся подробно, является также
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed