Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
успешно преодолены, что позволило сформулировать утверждение об
устойчивости системы без ограничения но времени. Дело в том, что развитие
физики последних десятилетий привело к огромному числу задач, в которых
проблема устойчивости оказалась важной и с принципиальной, и с прикладной
точек зрения. Кроме известной задачи трех тел и других задач небесной
механики, теория КАМ нашла применение в задачах о движении частиц в
ускорителях- и магнитных ловушках, динамики сплошной среды, колебаний
молекул и во многих других задачах.
Теорема об устойчивости и идеи ее доказательства были сформулированы
Колмогоровым [28] в 1954 г. Доказательство этой теоремы было проведено
Арнольдом [29 - 31]. Независимо, теорема устойчивости (но при несколько
иных исходных предположениях) была доказана Мозером [32, 33]. Различные
приложения теории КАМ содержатся в обзорах [14,15,24,25,34].
6. Вопрос о существовании интегралов движения при включении малого
взаимодействия между различными степенями свободы исследовался Пуанкаре
для гамильтониана (4.5) и практически при тех же условиях, что п в
теореме КАМ. Результатом этих исследований явилась известная теорема
Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно
малых е. В дальнейшем были попытки в работах Ферми и Пригожина [7]
использовать результаты этой теории для обоснования статистической
механики. Безуспешность этих попыток стала очевидной только после теоремы
КАМ. Действительно, система резонансных торов является всюду плотной в
фазовом пространстве. Эти торы разрушаются в результате взаимодействия.
Поэтому инвариантным торам "приходится" очень сложным образом обходить
области разрушения. Это приводит к тому, что инвариантные торы
существуют, но оказываются неаналнтическимп (!) функциями
40
своих перемепных. Ошибки, связанные с отсутствием понимания этого
вопроса, к сожалению, встречаются до сих пор в физической литературе.
7. Николай Сергеевич Крылов (1917 - 1947)-ленинградский физик, ученик
В. А. Фока. Его работы по обоснованию статистической физики, поражающие
глубипой и тонкостью анализа предмета, остались, к сожалению,
незавершенными. Ранняя смерть Крылова не позволила ему завершить
намеченную программу по обоснованию статистической механики. Благодаря
усилиям В. А. Фока и А. Б. Мигдала основные работы Крылова были изданы
посмертно в виде монографии [42]. Эта книга оказала огромное влияние на
советских физиков и математиков, занимающихся вопросами перехода от
динамического описания систем к статистическому, и сейчас трудно
представить себе проведение серьезных исследований в этой области без
знакомства с книгой Крылова.
8. Прп определении условия перемешивания (5.8) закон расцепления
корреляций не обязательно должен быть экспоненциальным, как в (5.10),
хотя последний типичен для задач статистической механики. В случае,
например, степенного закона убывания корреляций локальная неустойчивость
(5.9), естественно, отсутствует, и поэтому конечного времени релаксации к
равповеспю не существует. Интересным, однако, является то, что к такого
рода системам относится, например, одномерный газ невзаимодействующих
частиц. Действительно, в этом случае расстояние между двумя частицами со
скоростями i>i и V2 растет линейно:
D = | у 1 - vz | ( + D0, п легко показать, что
Я(х, х; t) ~ 1 It.
Подробно такая система исследовалась в работе [44]. В иен не существует
конечного вре.мепи релаксации, и надо заметить, что вообще идеальные
системы (т. е. системы невзаимодействующих частиц) до сих пор плохо
вписываются в существующую картину обоснования статистической механики.
Еще одно замечание следует сделать о том, что переход от (5.9) к (5.10)
следует принимать с определенным количеством оговорок. Свойство локальной
неустойчивости (5.9) может быть в значительной степени неоднородным в
различных областях фазового пространства. Это приводит к тому, что
экспоненциальный закон распада корреляций действует при достаточно
больших значениях инкремента h0 и при не слишком больших временах t.
Различные области фазового пространства, в которых локальная
неустойчивость развивается очень медленно, будут определять медленно
спадающую со временем асимптотику корреляционной функции. Таких областей
у корреляционной функцип с различными "промежуточными" асимптотиками
может быть несколько.
9. На первый взгляд, делается парадоксальное утверждение о
существовании обратимых уравнений движения, решения которых являются
случайными функциями. Происхождение парадокса связано с часто
встречающимся у физиков заблуждением о том, что все случайное должно быть
необратимым. В действительности необратимо ведут себя лишь усредненные
или каким-либо способом огрубленные величины, в которых уже потеряна
часть Toii полной информации о системе, которая содержится в точном
решении уравнении движения. Здесь же следует заметить, что хотя в.
стохастическом случае и существует принципиальная возможность такого
