Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
фактическая стороны проблемы. Первая из них связана со строго
обоснованной схемой получения необратимых кинетических уравнений из
обратимых уравнений гамильтоновой механики. Как правило, эта программа
реализуется путем введения некоторых четких гипотез и определений.
Примерами таких гипотез может служить гипотеза о столкновениях (Stossza
hlansatz) Больцмана или так называемое приближение хаотических фаз (ПХФ).
Естественно, что фактическая сторона проблемы связана не только с
выяснением природы этих гипотез, но и с объяснением реально наблюдаемой
необратимости физических процессов. Например, газ, запертый в левой
половине сосуда, после снятия перегородки равномерно заполняет весь
сосуд, и вряд ли можно рассчитывать увидеть, как газ снова соберется в
левой половине. Конечно, решение парадоксов Цермело и Лош-мпдта играет
здесь важную, хотя и не самую главную (как мы увидим ниже) роль.
Остановимся сначала на них.
Два обстоятельства позволяют разобраться в парадоксах возврата и
обратимости: статистический характер описания протекающих процессов и их
огрубленное описание. Если рассматривать очень большое число частиц
(например, 1023), то время возврата (см. § 1.1) чудовищно велико. Или,
иначе, вероятность возврата необычайно мала. Операция огрубления, или
введения крупнозернистой функции распределения, является определенным
приближением, которое содержит пренебреженне маловероятными событиями. К
таким событиям относятся и приближенные возвраты системы. Поэтому
кинетическое уравнение, получаемое для огрубленной функции распределения,
возвратов не содержит. По той же причине микроскопическая обратимость
уравнений движения частиц исчезает при переходе к их описанию с помощью
огрубленной функции распределения, так как при этом происходит
пренебрежение флуктуациями, которые могли бы выровнять вероятности
переходов в обе стороны между какими-либо двумя макросостоянпями. По
существу, в этом и состояла интуитивная позиция Больцмана по отношению к
критике со стороны Цермело и Лошмидта. В книге Каца [9] приводятся
следующие ответы Больцмана. На возражение Цермело о том, что система
должна вернуться в исходное состояние, Больцман сказал: "Долго же вам
придется ждать". А на замечание
37
Лошмидта о том, что все молекулы можно повернуть в обратном направлении
движения п получить пе возрастание, а убывание энтропии, Больцман сказал:
"Попробуйте их повернуть".
Идеи Больцмана по обоснованию кинетической теории были существенно
продвинуты благодаря работам Эренфеста, который сумел развить логическую
схему, примирившую на определенное время физиков с основными законами
статистической физики. Большую роль здесь сыграла модель урн Эренфеста.
Строгое и изящное решение этой модели и ее упрощенного варианта
содержится в книгах Каца [9, 10].
Однако наиболее трудным в проблеме обоснования статистической физики
оказался вопрос о том, как возникает близкое к равномерному распределение
состояний системы на поверхности постоянной энергии (или, в более общем
случае, на поверхности постоянных однозначных интегралов движения).
Большие надежды в решении этой проблемы возлагались (начиная с Больцмана)
на эргоднческую теорему или, короче, на свойство эргодичности системы.
Неудачи, связанные с многочисленными попытками в этом направлении, в
определенном смысле скомпрометировали проблему обоснования статистической
физики, сделав ее в глазах многих физиков "вещью в себе". Сейчас мы уже
зпаем, почему этот путь оказался неудачным.
Глубокий анализ, проведенный Крыловым [42], показал, что в основе
понимания природы появления статистических законов лежит не свойство
эргодичности динамической системы, а свойство перемешивания и связанная с
ним локальная неустойчивость (из которого эргодичность следует
автоматически). Однако анализ Крылова показал также, что в уравнениях
динамики системы не содержится какого-либо механизма огрубления, даже
если эта динамика является квантовой. Процедура огрубления до сих пор
является дополнительных! к динамическим уравнениям приемом, который
привносится в описание процессов исследователем, а не природой. Вернее,
мы не знаем точно, каким именно образом природа "огрубляет систему". Иден
Крылова в преодолении этой трудности остались, к сожалению,
незавершенными. Известно лишь [42], что разрешение проблемы Крылов искал
на пути получения некоторого свойства своеобразной дополнительности между
точностью в определении состояния системы и ее макроскопическими
переменными (аналогично принципу дополнительности в квантовой механике).
Чем максимальнее пол-пота опыта над макроскопической системой, тем
сильнее изменяются ее макроскопические свойства в результате опыта.
Современные достижения эргоднческой теории показали, что для появления
статистических свойств в системе вовсе не обязательно, чтобы система
состояла из большого числа степенен свободы. Эти свойства могут
появляться уже в системе из двух частиц. В связи с этим полезно показать,
