Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 10

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 102 >> Следующая

случае.
Сформулируем теперь основной результат проблемы устойчивости, который
составляет содержание теоремы Колмогорова - Арнольда - Мозера (КАМ).
Рассмотрим систему с гамильтонианом
..., Ък), (4.5)
Рис. 1.13. Отображения Пуанкаре.
Я-Я0(/" /x) + e7(/lf ..., h;
где невозмущенный гамильтониан Я0 предполагается невырожденным в
следующем смысле: д'н~
ФО
, 10(0, \~Щ
== det
п е - безразмерный параметр, характеризующий возмущение (е < 1). Тогда
при достаточно малых е < е0 большинство инвариантных нерезонансных торов
сохраняется и отличается от невоз-ыущенных торов слабой деформацией.
Фазовые траектории наматываются на эти торы всюду плотно и описывают
условнопериодическое движение с N частотами. Малая часть торов
разрушается, и их мера стремится к нулю при е -*- 0 (ком. 5).
Отметим два обстоятельства, связанные с теоремой КАМ. Первое из них
относится к величине границы е0, для которой доказана устойчивость. В
теории КАМ значение е0 очень мало
25
по сравнению с истинной границей устойчивости ес, п существование границы
носит скорее символический характер. Строгое определение реальной границы
ес является очень трудной задачей, и обычно ее оценивается (как мы увидим
далее) из полу-качественных соображений или из численного анализа.
Второе обстоятельство связано с различием в топологии инвариантных торов
в зависимости от размерности фазового пространства, т. е. от числа
степеней свободы. При N = 2 торы, соответствующие различным значениям
действий (7|, /а), оказываются вложенными друг в друга (рис. 1.14) и,
следовательно, не пересекаются. В этом случае говорят, что торы делят
пространство. Разрушенные торы оказываются зажатыми между устойчивыми
торами, и, следовательно, возмущение фазовой траектории в области
разрушения ограничено. Величина этого возмущения стре-
Рис. 1.14. При N = 2 разру- мится к нулю при е -> 0.
шенные торы зажаты между При N>2 торы не делят про-
устойчивыии торами. странство и пересекаются. Поэтому
области различных разрушенных резонансных торов образуют сложную сетку
каналов в фазовом пространстве, по которым траектория может уходить сколь
угодно далеко от области невозмущенного движения. Это явление называется
диффузией Арнольда [35] и будет рассмотрено в Дополнении 2. Таким
образом, при N>2 существуют такие области в фазовом пространстве, что
если начальные условия попадают в них, то траектория уходит сколь угодно
далеко. Мера этих областей стремится к нулю при е 0 (ком. 6).
Приведем простые соображения [34], показывающие, почему торы делят
пространство только при N = 2. В 2Димерном фазовом пространстве
поверхность постоянной энергии имеет размерность 2N-i, а границы, которые
ее делят на различные области, имеют размерность 2N - 2. Если торы делят
пространство, то их размерность N должна удовлетворять условию
N>2N- 2,
откуда следует, что N ^ 2.
В заключение этого параграфа полезно отметить особую роль теории КАМ в
вопросах, связанных с обоснованием статистической физики. Действительно,
статистическое описание исключается в устойчивом случае, и поэтому при
конечных N всегда существует конечная (хотя и малая при больших Ю область
фазового пространства, внутри которой движение системы заведомо не
стохастическое (островки устойчивости).
26
§ 1.5. Эргодичность и перемешивание
Основные определения. Локальная неустойчивость. К-системы. Идеи
Н. С. Крылова. Перемешивание - условие конечности времени релаксации
Этот и последующие два параграфа будут посвящены изложению основных
понятий современной эргодической теории и их связи с теорией динамических
систем. Их изложение будет проведено на чисто качественном уровне.
Строгое изложение затронутых вопросов содержится в монографиях [36-39], а
изложение для физиков -в обзоре [15].
Обозначим через
точку в фазовом пространстве (q, р), характеризующую состояние системы в
момент времени t. Эволюция системы по-прежнему определяется оператором
сдвига во времени
в случае, когда уравнения движения заданы в конечно-разностном виде
(например, в виде отображений Пуанкаре). Эволюцию произвольной функции от
z представим в виде
где оператор 5Г - аналог квантовой 5-матрицы.
Движение называется эргодическим, если справедливо равенство временных и
фазовых средних:
Используя (5.1) и (5.3), условие (5.4) можно переписать в виде
В дискретном случае условия (5.4), (5.5) выглядят следующим образом:
Равенства (5.4) и (5.6) должны выполняться для типичных тра-
z(t) = (q(t), pit))
(5.1)
(5.2)
/(z, t + T) = STf(z, t) = f(fz, t),
(5.3)
t + T
где opa момента t равенство не зависит.
(5.4)
г
г
lim i- f dtf [71 (t) z (0)] = lim ± f dtSTf [z (0)]= </>. (5.5)
T-* oo л " T-* oo *
0
0
N-1
(5.6)
27
екторий, т. е. может существовать множество нулевой меры таких
траекторий, для которых условия (5.4) и (5.6) не имеют места.
Перемешивание является более тонким понятием, чем эргодичность, и хотя
оно было введено в статистическую физику еще в работах Гиббса, тем не
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed