Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим предварительно, что вблизи равновесия состояния системы
приблизительно равномерно распределяются в некоторой
*) Спустя иного лет в Вене на могиле Больцмана был открыт памятник, на
постаменте которого выгравирована формула (6.5). В речи при открытии
памятника Тирринг сказал, что эта формула сохранит свою силу лаже тогда,
когда все памятники будут погребены под мусором тысячелетий.
32
области фазового пространства размером ДГ. Поэтому
W Ж дг/г0
и соотношение (6.5) может быть перепнсано в виде 5 = 1пДГ,
(6.6)
(6.7)
где для простоты положено & -1, Г0 = 1. Нам уже известно из предыдущего
параграфа, что при определенных условиях динамическая система ведет себя
так, как должна вести себя случайная система. Можно ли определить понятне
энтропии таким образом, чтобы оно могло применяться непосредственно к
динамическим системам, используя только свойства траекторий этой системы
(а не функции распределения)? Эта задача была решена Колмогоровым [43,
46], который, используя некоторые идеи теории информации, ввел понятпе
динамической энтропии, называемой также /С-энтропией и обозначаемой через
h*). Формальное определение типичной для различных физических ситуации
it-системы заключается в следующем: это гамильтонова система (точнее,
система с преобразованием, сохраняющим меру), у которой
Наиболее существенный элемент в (6.8) - тот, что h Ф 0.
Работа Колмогорова об энтропии положила начало строгому анализу
динамических систем в предельном случае, который является обратным
условием теоремы КАМ, т. е. в случае максимального разрушения
инвариантных торов. Развитие этого анализа нашло отражение в работах
Аносова, Рохлина и Синая [47 - 51] (см. также обзоры [37 - 39, 52, 53]).
Связь it-энтропии с различными физическими понятиями и, в том числе, с
обычной энтропией рассматривалась Чириковым [24].
Займемся введением понятия it-энтропии. Формальный путь несколько сложен.
Поэтому введем энтропию h неформальным образом. Рассмотрим эволюцию
некоторого начального элемента фазового объема ДГ0. В силу теоремы
Лиувнлля
однако структура фазовой капли изменилась. В ней появляются пузыри
пустоты (рис. 1.18). С ростом времени пузырчатая структура делается все
более мелкой. При этом огибающая фазовой капли расширяется и ограничивает
все больший объем. Введем теперь величину е, имеющую размерность Г, и
огрубим структурную сетку фазовой капли на рис. 1.18 с точностью до е.
Это, в частности, означает, что все тонкие фазовые нити толщиной <е
"оденутся". Отсюда сразу следует, что огрубленный фазовый
*) Аналогичная идея введения энтропии динамических спстем была предложена
несколько раньше студентом Одесского университета Д. 3. Аро-вым (см.
примечания в [43, 214]).
3 Г. М. Заславский 33
Й>0.
(6.8)
ДГШ=ДГ0,
объем ДГШ растет со временем. Согласно формуле локальной неустойчивости
(5.9) легко видеть, что
ДГ Ш = ДГ0е','> (6.9)
где h - некоторая величина, характеризующая усредненный по
объему инкремент неустойчивости h0. Воспользуемся теперь формулой (6.7) н
подставим в нее (6.9):
5 = 1п ДГ") =1п (ДГ0е'") =
= ht + In ДГ". (6.10)
При переходе от формулы Больцмана (6.5) к (6.7) мы предполагали, что в
выражении (6.6) для статистического веса W состояния системы достаточно
равномерно распределены в объеме ДГ. Таким же свойством
равномерности обладает и объем
ДГШ, если t не слишком мало. Это следует из замечания в
§ 1.5 о равномерности заполнения фазового объема при перемешивании,
проиллюстрированной на рис. 1.16, б. Нас интересует определение
физических величин (в том числе и энтропии S) с возможно большей
точностью. При точности огрубления е очевидно, что не имеет смысла
выбирать ДГ0 меньше чем е. Поэтому в формуле (6.10) можно положить ДГ0 =
е и в дальнейшем перейти к пределу е -> 0. Рассмотрим теперь выражение
lim lim у- In ДГ (t) = lim lim -j- (ht + In e) = h. (6.11)
С-+0 t-*oo [?""0 t""oo
Выражение (6.11) и определяет энтропию Колмогорова h. Порядок выполнения
пределов в формуле (6.11) существен. Перечислим основные свойства /f-
энтропип.
1) Энтропия h определяет скорость изменения энтропии S в результате
чисто динамического процесса перемешивания траекторий в фазовом
пространстве.
2) Энтропия h, инкремент локальной неустойчивости Л0 и обратное время
расцепления временных корреляций hc являются величинами одного порядка:
h ~ h" ~ hc. (6.12)
Тем самым раскрывается физический смысл Х-энтропии.
3) Энтропия h является метрическим инвариантом системы
[46], т. е. ее величина не зависит от способа разбиения фазового
пространства и огрубления.
4) Системы, имеющие одинаковые значения энтропии h, в определеппом
смысле изоморфны друг другу [39, 54], т. е.
>
Рис. 1.18. Изменение огрубленного фазового объема со временем.
34
статистические законы движения у таких систем должны быть одинаковыми.
Остановимся на свойстве изоморфности более подробно [38, 212, 2131. Пусть
переменные (х) и преобразование Tw определяют некоторую динамическую
