Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
одним из простейших типов преобразования, приводящим к перемешиванию.
Особая ценность этого примера заключается в том, что его различные
модификации являются типичными для многих физических задач.
Пусть по-прежнему переменная х изменяется в области О < х < 1. Рассмотрим
преобразование
где К - параметр задачи (К > 0), а смысл фигурных скобок тот же, что и в
(1.2). При К< 1 фигурные скобки в (1.15) можно опустить н
*"+i = Кхп = Юхп-i =... = Kn+tiс0.
Отсюда следует, что хя -*¦ 0 при п -*¦ независимо от начального значения
ха. При К = 1
т. е. система покоится.
Совсем иначе обстоит Дело при К> 1. В работах [56 - 58] было показано,
что в этом случае движение обладает свойством перемешивания. Итак, в
наших руках пример системы, в которой может быть как регулярное, так и
стохастическое движение в зависимости от значений параметра системы.
Займемся подробным исследованием эадачи (1.15). Ограничимся случаем К'"
1, что позволит использовать не столь строгие, как в [56 - 58], но весьма
наглядные качественные методы.
Вычислим сначала корреляционную функцию
Может возникнуть вопрос: почему в формулах (1.16) в определении <xm+n>
интегрирование ведется по dxm н почему не равны средние <arm> и <жт+п>?
Ответ на него связан с тем, что преобразование (1.15) не сохраняет,
вообще говоря, меру. Поэтому отсутствует аналог теоремы Лнувилля и
средние не являются
х"+, => (KxJ,
(1.15)
1
e J (Хт+п (хт+пу) (хт (хтУ) dxm X
о
где
1 1
(1.16)
о о
45
стационарными величинами. Если, однако, К - целое, то мера сохраняется и
тогда <хт> = <хт+п>.
Мы убедимся в этом свойстве системы несколько позже, когда займемся
анализом функции распределения, а сейчас продолжим вычисление Я".
Определим спачала Я1 [59]. Имеем
где Ci - константа порядка единицы. С помощью аналогичных выкладок можно
получить
где С(п) - медленно меняющаяся предэкспонента (при К > 1).
Доказать, однако, выражение (1.17) используемыми методами мы можем только
для целых К. Действительно,
<дп+1*т,)-<*п+1> <**>
<4>-<*">2
Простые преобразования интегралов дают
1
к
о
о
1
о
Таким образом, Я1" CJK,
Яг" CJR\
Можно ожидать, что вообще
Яп ~ СЫ)/Кп = СЫ) exp (- п In К),
(1.17)
** 12К1
1
откуда
Я"ж^2 exp (- п 1п К).
46
(1.18)
В случае нецелых К удобно рассмотреть корреляционную функцию иного типа:
= 2я<ехр [2ni(x"+m - хт)]>. (1.19)
Как станет ясно дальше, именно такого типа корреляторы возникают при
выводе кинетического уравнения. Оценим Яп при К >
>1 [14]. Для &1 имеем при произвольном К:
1
Sh = 2л [ dx exp [2ni (х - {ЛГх})] = о
1
= 2л Ц dx exp (2яi (1 - К) х] = y~k ^ - ехр ^я* ^ - *1) ~ X*
о
Для целых К функция 31 обращается тождественно в нуль, что связано со
специальным выбором вида коррелятора. При К < 1 величина ~ 1.
Докажем теперь рекуррентную формулу
~ х Ял-i (*>1). (1.20)
Имеем
1
52п = 2л j* dx ехр |2я? - {К {К ... {Кх} ... }jj =
к
= ^ J dx ехр |^2ni ^ - {АТ {АТ... {д:}... J =
К-{К>-1 "1+1
= Х 2 j dx ехР [ 2ni f ТГ - & & • • • (* ~ "Ob • • 1 +
m=" ni L \ ii-1 n-1 / J
К
+ % f rfar exp Г2jx? - {A {A ... {/ST (ar - AT + {/ST})}1 =
K-{K> L \ тГ^-l / J
/к-(К)-1 \ 1
2 exp(2ni-J-)j j ctyexp|2n?^y -
-{K{K ...{Kyy.^ +
П-1
+ Щ- exp (2л? j dy exp Г2л? /у - {К {К ... {Ку} ... }У| =
о L \ ^ 'т=Г/]
/" л - {Л}\
2Я хр1 * )^5 . 2я_
= X-------------------2iii-----^n_1 + Т ехр (2lU -К-] Cn_1
1 - ехр -jr
47
где обозначено
г
Сп (2) = \dy exp \2zii ^ - {К {Я ... {Ку}^ ._jjj (z < 1).
Аналогично можно показать, что
Сп-х ({Я}) ~ Сп-2 ({К {Я}}) + -?¦ й".2)
где а и 0 - константы порядка едннпцы. Упрощая выражение для 52", имеем
Яп~{§Яn-i + x^-i "*"•
Совмещением последних двух выражений заканчивается доказательство
рекуррентного соотношения (1.20), поскольку Сi ~ ~ 1 /К. Из полученных
выражений можно извлечь дополнительную информацию: коэффициент С(п) в
формуле для корреляции 91п ~ С(п) exp (- rain К), (1.21)
вытекающий из (1.20), растет не быстрее, чем га.
Формулы (1.17), (1.21) приводят не только к доказательству перемешивания
при больших К, но и к определению очень существенной характеристики
движения - времени расцепления корреляций:
т = 1/1п К. (1.22)
Кроме того, (1.22) раскрывает содержание рекуррентной формулы (1.20).
Действительно, последнюю можно переписать в виде
Sin ~ Sin-l&i ~ ~ (1-23)
т. е. корреляторы высших порядков расцепляются на произведения
корреляторов второго порядка. Физический смысл выражения (1.23)
заключается в статистической независимости значений х0, хи хг, ...,
получаемых на каждом шаге преобразований через интервал времени, принятый
равным единице. С другой стороны, К > 1 и, следовательно, т < 1, т. е.
время расцепления корреляции координаты движения х меньше времени между
двумя последовательными изменениями х (между двумя "столкновениями"). Это
условие, как известно, автоматически приводит к расцеплению (1.23).
Из (1.23) следует практически важный вывод. Соотношение
(1.23) и его физическое содержание показывают, что в подобных случаях
