Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
а) В) 5)
Рис. 1.10. Нельзя "завязать бантик", как на фигуре в, пользуясь обычной
теорией возмущения.
нально независимых интегралов движения Flt ..., FN. Пусть также эти
интегралы движения находятся в инволюции, т. е.
где [ , ] обозначает скобки Пуассона. Тогда
1) траектории системы лежат на iV-мерном торе;
2) движение является условно-периодическим и характеризуется N
частотами
<Dj = (c).(F,, ..., FK), i = 1, ..., N;
3) угловые переменные fy, характеризующие координаты на торе,
удовлетворяют уравнениям
¦О; = Wit + const, i - 1, ..., N.
Отсюда, в частности, видно, что для интегрируемости гамильтоновой системы
достаточно знать не 2N интегралов движения, а только N. Если нам
известно, например, N +1 однозначных интегралов движения, то один из них
может быть выражен как функция остальных N интегралов движения. В случае
двух степеней свободы (рис. 1.11) достаточно знать лишь один интеграл
движения, так как вторым является энергия.
Однако такое представление не совсем
удобно, так как переменные F( и не являются канонически сопряженными.
Пусть /j, ..., Is - обобщенные импульсы (действия), канонически
сопряженные углам fy, ..., 'дк- Это означает, что уравнения движения в
этих переменных имеют вид
Из (4.1) следует, что действия I] являются независимыми интегралами
движения п их ровно N. Таким образом, существует преобразование
На первый взгляд может показаться, что, вводя переменные
IFU Fj] = О, Z, / = 1, ..., N,
fit = o)i(F{, ..., FK), i = 1, ..., N,
т. e.
Следствием теоремы Лиувилля является то, что гамильтониан системы может
быть представлен в виде
H=H(Ft......FN).
Рис. 1.11. Движение на двумерном торе.
(4.1)
(4.2)
23
(/j, fy) и получая представление (4.1), (4.2), мы тем самым всегда
приходим к интегрируемому случаю. Однако проблема заключается
в том, существует ли (хотя бы принципиально) N перемен-
ных /,-, удовлетворяющих условиям (4.1), (4.2).
Для построения интегралов движения /j воспользуемся соображениями,
которые были высказаны Эйнштейном при анализе квазиклассических правил
квантования [26]. Положим
N
ЛГ. (4.3)
Cj *=1
Вид контуров С} будет указан ниже.
Величина
j j 2 Pkdqh
J J k=i
является первым интегральным инвариантом Пуанкаре. В том и только в том
случае, когда число интегралов движения равно точно N, величина dS
является также полным дифференциалом. Отсюда интеграл от dS по замкнутому
контуру равен нулю, если этот контур может быть стянут в точку. Поэтому
рассматривать имеет смысл лишь базисные контуры С, в формуле (4.3),
которые 1) не могут быть стянуты в точку; 2) не могут быть переведены
непрерывным образом друг в друга. Будем называть эти контуры
неприводимыми. Если движение происходит на ^-мерном торе, то число
неприводимых контуров равно А' (способ пх введения для N - 2 приведен на
рпс. 1.12). Тем самым определяется N независимых действий Is формулой
(4.3) при числе
интегралов движения, равном N. В противном случае, когда число интегралов
движения меньше N, часть инвариантных действий разрушается.
Из простых геометрических соображений (см. рис. 1.11) яспо, что при
полном наборе иптегралов движения тор, на который навивается траектория,
является инвариантным (это следует и из теоремы Лиувилля). Поэтому
разрушение интегралов движения сопровождается разрушением пнвариаптных
торов и возникают две фундаментальные проблемы:
1) проблема устойчивости инвариантных торов (сохраняются ли
инвариантные торы при малых возмущениях?);
2) проблема разрушения (каким является движение системы при разрушении
интегралов движения?).
Указанные проблемы можно интерпретировать и с иной точки зрения.
Пересечем тор плоскостью, перпендикулярной внутренней оси тора (рис.
1.13). Каждый раз, сделав один оборот, траектория пересекает плоскость в
некоторой точке. Можно ска-
Рис. 1.12. Неприводимые контуры С1 и Сг ие могут быть стянуты в точку или
переведены друг в друга.
24
зать, что в результате движения (т. е. под действием некоторого оператора
эволюции) точка на выбранной площадке переходит в новую точку на этой же
площадке. Таким образом, непрерывная эволюция системы
(q(t), p(t)) = ?(}(0), р(0)) заменяется дискретным отображением
(<7n+i* Pn+i) - T(.qn, р"), (4.4)
называемым отображением Пуанкаре. Если траектория движения располагается
на торе, то точки отображения (4.4) покрывают замкнутую кривую. В частном
случае соизмеримых частот движения на торе (резонансный тор) множество
отображений состоит из конечного числа точек, а траектория частицы на
резонансном торе замыкается через конечное число оборотов. Смысл
введенных новых понятий состоит в том, что существование инвариантных
торов эквивалентно утверждению о том, что множество точек отображения
Пуанкаре образует замкнутую кривую (или конечную систему точек, как в
резонансном случае). При разрушении инвариантных торов точки отображения
Пуанкаре, очевидно, не образуют замкнутой кривой, п вопрос заключается в
том, что же именно представляет собой множество точек отображения в этом
