Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
возмущений при нелинейном резонансе строится по параметру е</2. Во-
вторых, в фазовых колебаниях появляется сепаратриса. Это означает, что
дополнительно к особенностям невозмущенного движения прибавились по
крайней мере еще две: одна гиперболическая точка п одна эллиптическая.
Предположим, что резонансное условие
(3.4) выполняется при h = - 1, А0 ^ 1. Тогда все предыдущие рассуждения
сохраняются. Однако фаза ф определена теперь выражением
ф = А0О - vf,
что приводит к появлению ожерелий из ячеек сепаратрисы па фазовой
плоскости (рис. 1.9 для к0 = 6). Число ячеек равно &0, и,
следовательно, из-за резонанса появляется дополнительно к" пар
эллиптических и гиперболических точек.
Нам осталось оправдать сделанные выше приближения. Условие малости
второго члена по сравнению с
•
первым в уравнении (3.5) для ф приводит к левому неравенству (3.7).
Замена VU) на У(/0) эквивалентна условию AI/I < 1, т. е. согласно
(3.14) - тому же неравенству. От-Рис. 1.9. Усложненный взризнт
брасывание нерезонансного члена по нелинейного резонанса. сравнению с
резонансным справед-
ливо при условии До/ю < 1, что согласно (3.13) соответствует правому
неравенству в (3.7).
Существенная роль неравенства (3.7) приводит к третьему характерному
свойству нелинейного резонанса: он возникает при достаточно больших
нелинейностях (а > е). Не вдаваясь в детали, можно сказать, что при малых
е и а вопрос о движении
20
системы не решается автоматически (благодаря малости параметров), так как
характер движения определяется не столько самими е и а, сколько их
соотношением. Приведенный анализ нелинейного резонанса слишком упрощен.
Значительное число деталей, обобщений и строгпх результатов можно найти в
книге Арнольда [16]. Нам также придется еще неоднократно встречаться с
различными усложнениями задачи о нелинейном резонансе. Этот параграф мы
закончим одним тривиальным обобщением.
Рассмотрим систему из двух частиц, между которыми может возникнуть
резонансное взаимодействие. Гамильтониан такой системы можно записать в
виде
н = S я? (/,) + гУ (/,, /2; 0lf 0#), (3.16)
1=1,2
н уравнения движения
/, = -дН/дЬи О, = dH/dh (i = 1, 2).
Предположение о резонансности взаимодействия означает, что условие
• •
- тпЪг = na)i(/io) - mtOi(/io) = 0 (3.17)
выполняются для некоторых целых чисел (п, т) и для действий (/," /jo).
Так же, как п ранее, сохраним в (3.16), (3.17) только резонансный член
взаимодействия в разложении в ряд Фурье:
V = -i- 2 Vnm (Л, /2) exp i (п(c)! + тЬ2) + к. с.
п,тп
и разложим Я(r) и о)4 = dH\JdIi в окрестности резонанса (71в, /20). Это
дает из (3.16) эффективный гамильтониан, аналогично выводу (3.10):
Н = 4- 2 (д/<)2 + eF0 cos (3.18)
i=i,а
где
I da. (1Л
di = " , Mi = I i - Ii0, $ = пЪ1 - mb9 + ф,
VBm(/it, Ao) = I l' nm(/l0i /20) 1в** s Foe''.
Уравнения движения могут быть получены из <3.18) или пз (3.16):
ii=jt AA = enV0cosi|>,
/2 = ^ А/а = - emF0 cos т]), (3.19)
•ф = пщ A/j - тщА12.
Уравнение для фазовых колебаний получается дифференциро-
21
ванием
ф 4- eV0 (ra2o)i + m2^) sin г|з = 0.
Отсюда находим частоту фазовых колебаний
Й = [еУ0(ге2о>; + т*щ)]1!* (3-20)
и видим, что в системе возможно дополнительное вырождение, если (Oj и о)2
соизмеримы как пг/тг и имеют противоположные знаки. В дальнейшем такой
случай рассматриваться не будет.
Складывая первые два уравнения в (3.19), получаем закон сохранения
m/i - nh = const. (3.21)
Соотношение (3.21) известно в теории параметрических усилителей как
соотношение Мэнли -Роу [23], совместно с (3.18) оно позволяет определить
действия как функции времени.
С увеличением числа степеней свободы, участвующих в резонансе, число
соотношений типа (3.21) также увеличивается.
Мы остановились на наиболее существенных формальных особенностях теории
нелинейного резонанса. Есть, однако, одна особенность, которая отличает
все, что делалось в этом параграфе, от обычной теории возмущения по
малому параметру. Рассмотрим фазовые траектории, изображенные на рнс.
1.10. Кривые а я б топологически эквивалентны и могут быть получены одна
из другой путем "плавного" изгибания или путем добавления малых
возмущений к основной кривой. Однако никаким неособым образом нельзя
"завязать бантик" (как на рис. 1.10, в), как бы он ни был мал. Для этого
нужны специальные методы, и тот* что излагался выше, относится к их
числу.
§ 1.4. Теория Колмогорова - Арнольда - Мозера (КАМ)
Многомерное движение. Инвариантные торы. Переменные действие -
угол. Неприводимые контуры. Отображения Пуанкаре. Теорема об
устойчивости. Роль размерности фазового пространства
Динамическая система, имеющая N степеней свободы, описывается системой
уравнений движения порядка 2N. Сколько должно быть интегралов движения
для того, чтобы уравнения движения интегрировались в квадратурах? Для
случая гамильтоновых систем ответ на этот вопрос дает теорема Лиувилля
(ком. 4).
Пусть гамильтонова система с N степенями свободы совершает финитное
движение и имеет N однозначных и функцпо-22
