Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ f-ilrif)- V а (Р<) | Шь (q) I2 е~*"]. (6.39)
Oi >
Следовательно, для сплавов, в которых нет дальнего порядка,
энергетические характеристики должны оцениваться по (6.38) или (6.39), в
зависимости от присутствия или отсутствия ближнего порядка. В
теоретических исследованиях до сих пор чаще использовалась формула
(6.38), хотя ближний порядок - широко распространенное явление [23], и
исключением, скорее, являются сплавы без ближнего порядка, чем с ближним.
Это объясняется уже устаревшими представлениями о незначительном вкладе
эффектов ближнего порядка, повышением трудоемкости расчетов при его учете
п недостаточной разработанностью электронной теории ближнего порядка в
приближении псевдопотенциала.
Теперь получим выражения для (7bs в случае, когда в сплаве существует
дальний порядок. Из предыдущего рассмотрения видно, что фактически задача
сводится к анализу Ж'кр (г) для расположения атомов, соответствующего
дальнему порядку. Если атомы в сплаве расположены полностью упорядоченно,
то удобно суммирование по кристаллу разбить на суммирование по узлам
элементарной ячейки v и по центрам элементарных ячеек /. В этом случае
(г) = ± 2 2 К1 - cvi) WbA (г - tvj) + cvjWbB{v - (6.40)
f V
Фурье-преобразование этого выражения дает
(ч) =4 2 2 К1 - ^') ^ (ч) e~i4^ + cvjWbB (q) e~i4t4 (6.41)
5 v
Поскольку все элементарные ячейки по определению одинаковы, то e-,4t-)'
можно вынести за знак суммы (tvj = tv + tj)} и тогда
(Ч) = 4" {2 e_i4ti} 2 [d - cv) WbA (q) e~iqtv +
+ c<,Wb (q) e_i,tv]. (6.42)
236
ГЛ. 6. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ1 СТРУКТУР
Очевидно, что первая сумма в (6.42)
$-ДЗ)
где N' - число элементарных ячеек в кристалле. Фактически это означает,
что (6.43) эквивалентно первому уравнению - в- (6.9), только здесь
суммирование проводится по центрам элементарных ячеек, а не по всем
атомам, как было в (6.9). Суммирование по индексу v дает
"псевдопотейциальную" структурную амплитуду элементарной ячейки,
аналогичную рентгеновской. В ней вместо атомных факторов рассеяния
рентгеновских лучей фигурируют формфакторы псевдопотенцналов, т. е.
факторы рассеяния электронных волн.
Так, для кристаллов с кубической ячейкой типа Cu3Au можно получить:
Wb" (q) = ±r\W% (q) +WbA (q) [e~ni("i+^) +
-1- е_я*(нг+нз) 4- e~(tm)(H3+Hi)]\X (6.44)
где n' - число атомов в элементарной ячейке.
Для узлов обратной решетки с компонентами Ни Н2, Я3 одинаковой четности
(им соответствуют g", / - основные векторы обратной решетки) имеем:
Для узлов с компонентами Ни Н2, Н, разной четности (им соответствуют g",
" - сверхструктурные векторы обратной решетки) имеем:
В результате формфактор псевдопотенциала кристалла, приходящийся на один
ион, будет равен
Аналогично для кубических кристаллов типа CuZn можно по лучить :
Wl{q) = (^(Ч) + 3W/A(q)l = Wb (q). (6.45)
Wba (q) = -f [WbB (q) - WbA (q)} = -i- ДИ'Ь (q). (6.46)
§ 18. ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ
237
Н'апомннм, что сверхструктуры типа CusAu в разупорядочен-ном состоянии
переходят в ГЦК структуру, а типа C'uZn - в ОЦК. - -
Сходные выражения могут быть получены и для других сверхструктур. Схема
проведенного расчета несколько отличается от схемы рассуждений, которые
проводились в начале настоящего параграфа, однако легко показать, что из
(6.27) могут быть прямо получены п выражения типа (6.45), и другие
подобные выражения.
Таким образом, энергия зонной структуры упорядоченных но типу CuZn
сплавов имеет вид
Очевидно теперь, что аналогичные выражения могут быть получены и для
сплавов, упорядоченных по любому другому типу. При рассмотрении
конкретных результатов исследования ряда сплавов некоторые из подобных
выражений будут приведены в том числе и для частично упорядоченных
сплавов.
Стоит еще раз указать, что существует определенная аналогия между
формулами для квадрата модуля матричного элемента перехода электрона из
состояния |к> в состояние <k + q| и формулами интенсивности рассеяния
рентгеновских лучей (нейтронов и электронов). Поэтому последними можно в
ряде случаев пользоваться для получения выражения квадрата модуля
формфактора псевдопотенциала кристалла в сплавах с различным типом
порядка, в том числе - и для частичного дальнего, который для краткости
нами не рассматривался. Однако не следует забывать, что зависимости
величин формфакторов псевдопотенциалов от волнового вектора q существенно
отличаются от соответствующих рентгеновских, нейтронных или электронных,
и поэтому никакие численные оценки по аналогии с оценками из теории
рассеяния рентгеновских лучей или его аналогов не могут быть корректными.
В заключение параграфа отметим, что полученные выше формулы справедливы в
полной мере лишь для чистых простых металлов и их сплавов. При введении
псевдопотенциала благородных металлов согласно Харрисону [42]
рассматривается дополнительно потенциал гибридизации, учет которого
приводит к заметному усложнению формул полной энергии металлов и сплавов.
С этими соотношениями можно познакомиться в оригинальных работах [43-461.
