Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
систему, получим для алгебраических величин касательного и нормального ускорений формулы:
W^ = ре — (ой sin 8; w^ = (о2 (р — k cos 8), (3-72)
где p = PM; k = -^-. Точки фигуры, для которых в данный момент w =0, определяются равенством p = kcosB, которое представляет собой полярное уравнение окружности, описанной как на диаметре на отрезке PK= к. Эта окружность называется кругом, Лагира, или окружностью перегибов, потому что W^=O в точках перегиба траектории. Точки фигуры, для которых в данный момент w^ = 0, определи - « * •
ляются равенством р = -~- sin 8, которое представляет собой полярное
OiU ~
уравнение окружности с центром на оси Рг\ в точке 7J = "^-"« Эта окружность называется кругом Бресса. Точка пересечения кругов Лагира и Бресса служит центром ускорения. Центр Z кривизны траектории точки M лежит на нормали MP, Если обозначить через R алгебраиче-
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
31
ское значение радиуса R = MZ кривизны, а через А точку пересечения радиуса-вектора PM с кругом Лагира, то алгебраические значения длин отрезков MZ, MA и MP связаны формулой Савари:
MZ-MA = (MP)*. (3-73)
Если положить R — p = p, то формула (3-73) примет вид:
1 + 1 = . 1
~ k COS б *
(3-73')
§ 3-19. Карданово движение
Движение плоской фигуры по неподвижной плоскости называется кардановим, если две точки этой фигуры движутся по двум неподвижным взаимно-перпендикулярным прямым. Если расстояние AB (рис. 3-34) между точками А и В, движущимися по неподвижным осям X и у, равно 21, то траектория любой точки M с координатами х', у' по осям х'у', жестко связанным с движущейся фигурой, представляет собой эллипс У
с уравнением
ал:2 + by2 — 2сху = d,
ТАа = дг'2 + (I +У)з, Ь=дг'2 + (I -j,')2»
С = 2lx\ rf=(.v'3+y2_/2)2.
Для точек, лежащих на окружности
ЛГ'2+у2=—/2 с центром С В СрвДИНС
отрезка ABy этот эллипс обращается в проходящую через начало О прямую
Х =—у . Мгновенный центр Yi- У Yi+у'
P скоростей лежит на пересечении перпендикуляров AP и BP к неподвижным прямым Ox и Oy. Неподвижной центроидой служит окружность с центром в точке О радиуса 21, а подвижной — окружность с центром с точке С
радиуса I. Центр Qускорений лежит на подвижной окружности и /,OCQ= = 2^, где tg^ = Lii ^ а уГОл р. откладывается от радиуса ОС в направлении мгновенного вращения, если <ое>.0, и в обратном, если <ог<;0.
§ 3-20. Движение свободного тела
Положение свободного тела по отношению к неподвижным осям хуг системы отсчета определяется положением произвольно выбранного в теле полюса О' (х0, у0, г0) (рис. 3-35) и углами Эйлера осей х'у'г', жестко связанных с телом, с подвижными осями движущимися поступательно и остающимися параллельными неподвижным осям хуг. Движение тела определяется заданием величин лг0, V0, г0, ф, <р, 6 как функций времени. Уравнения движения любой точки M тела, определяемой ее постоянными координатами л:', у\ г1 по осям х'у'г', даются формулами:
X = X0 + CC1*' + CC2J/'+а3г', -J
y = yo + hx' + hy' -Из*', \ (3-74)
' = ^0 + 71-^4-72/ -Из*', J где коэффициентами при х', у', г' служат направляющие косинусы осей
Рис. 3-34.
82
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Xі (см. § 3-11). Так как для любой точки M ее радиус-вектор г относительно неподвижных осей выражается через радиус-вектор г0 полюса О' и относительный радиус-вектор г' формулой ГаГОТГ0) то
~ = 4- ^l-, а так как -?" представляет собой скорость точки M dt dt dt dt
при вращении тела около неподвижного полюса О', если за систему отсчета принять оси O'EtjC то скорость V точки M выражается формулой
V = V0-fu)X г', (3-75)
где со есть мгновенная угловая скорость вращения вокруг полюса О'. Эта угловая скорость со не зависит от выбора полюса О' и потому называется абсолютной угловой скоростью свободного тела. В свободном теле в общем случае нет точки, скорость которой в данный момент равняется нулю. Для существования такой точки необходимо и достаточно, чтобы о)^0и VJ_co. Если со ^ О, то проекция Vq на направление вектора со для всех полюсов О' одна и та же. В теле можно указать
Рис. 3-35. Рис. 3-36.
точку С (рис. 3-36) с радиусом-вектором rc = ~^J такую, что V^Hco.
Этим же свойством быть параллельной со обладают скорости всех точек прямой, проведенной через точку С параллельно со. Эта прямая называется мгновенной винтовой осью тела.
Координаты Xq, у?, Zq точки С по неподвижным осям выражаются форм^чами:
[ f (3-76)
'С-г* + -&1"ху»у—J
а уравнения винтовой оси имеют вид:
х-х У-У г z-г
X у Z
При постоянных во времени значениях со и Vq винтовая ось остается в течение движения неподвижной и траекториями точек тела служат винтовые линии, определяемые цилиндрическими координатами р, z, <р
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ
33
в системе осей Схуг, в которых ось Cz направлена по со, по формулам: P = P0; Z-Z0= — (9 —<Ро).
где рс, Z0, <р0 — значения координат точки M в начальный момент. Отношение
(3-77)
называется параметром винта. Перемещение h точки вдоль оси винта за время, в течение которого угол <р увеличивается на Iv., называется шагом винта; шаг определяется формулой
