Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
geuwa из положения Bi в положение f2, а затем повернуть тело вокруг оси B2I. При этом оси AsK и BqL будут параллельны и двугранные углы, на которые тело вокруг этих осей поворачивается, будут между собой равны. Проекции A2A' и B2B' перемещений AiA2 и BiB2 двух точек А и В тела на постоянное направление оси поворота равны между собой: A8A' = = В2В'. В теле можно найти такую точку С, перемещение которой CiC2 равно постоянной величине проекции перемещения любой точки тела на постоянное направление оси поворота, и тогда перемещение тела можно выполнить, повертывая его вокруг оси CiC2 на определенный двугранный угол и сообщая ему поступательное перемещение CiC2. Такая комбинация поворота вокруг оси и поступательного перемещения вдоль этой же оси называется винтовым перемещением.
Рис. 3-16.
§ 3-7. Общее свойство скоростей точек движущегося твердого тела
При любом движении твердого тела в каждый момент проекции скоростей двух точек тела на ось, соединяющую положения этих точек, равны между собой. Если обозначить вектор AB через 1 (рис. З-П), то эта теорема выражается равенством скалярных произведений:
(1. V^4) = (1, VB). (3-44)
Если заданы в согласии с этой теоремой скорости Vi, V2, V8 трех точек Ai, A2, A3 тела, не лежащих на одной прямой, то скорость любой точки А, не лежащей Рис. 3-17.
на плоскости AiA2A8. можно вычислить
при помощи векторов li = AiA, i2 = A2A, i8 = A8A из уравнений:
§ 3-8. Поступательное движение
Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, взятая в теле, занимает во все моменты движения положения, параллельные между собой. При поступательном движении тела перемещения всех его точек за один и тот же произвольно выбранный промежуток времени равны между собой. Для данного момента времени скорости и ускорения всех точек поступательно движущегося тела оди-
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
21
наковы. Если в данный момент времени скорости трех точек тела, не лежащих на одной прямой, равны между собой, то скорости всех точек тела в этот момент одинаковы и состояние движения тела называется мгновенно поступательным.
§ 3-9. Вращательное движение твердого тела
Движение твердого тела называется вращательным, если любая плоскость, проведенная через точку тела и некоторую неподвижную прямую, лишь поворачивается вокруг этой прямой. Эта неподвижная прямая называется осью вращения. Движение тела будет обязательно вращательным, если две его точки остаются неподвижными относительно взятой системы отсчета; прямая, соединяющая эти точки, и будет осью вращения. При вращательном движении тела все его Точки описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения с центрами на этой оси. Положение тела, вращающегося около оси гг (рис. 3-18), определяется углом поворота f, равным линейному углу двугранного, составленного какой-нибудь плоскостью П, проведенной через ось вращения zz, с неподвижной плоскостью П0, проведенной через ту же ось. Формула, выражающая этот угол в зависимости от времени, т. е.
<? = /«), (3-46)
называется уравнением вращения тела. Угол <р считается положительным, если при наблюдении с положительного конца оси вращения он
отложен от неподвижной плоскости П0 к подвижной П против хода часовой стрелки, и отрицательным — в обратном случае. Производная d<p ч dm
= <о называется угловой скоростью тела, а производная — =
= -^J- =« — угловым ускорением тела. Угловая скорость и угловое
ускорение тела равны угловой скорости и угловому ускорению любой точки тела в ее круговом движении по окружности с центром на оси вращения.
Угловую скорость вращающегося тела изображают в виде вектора (о, равного по модулю абсолютной величине |ш| и отложенного по оси вращения от произвольной точки О в ту сторону оси, при наблюдении с которой вращение тела происходит против хода часовой стрелки. Проекция со вектора w угловой скорости на ось вращения равна алгебраически величине со угловой скорости тела: <o^ = <o. Вектор (рис. 3-19) скорости любой точки А тела при вращательном движении определяется формулой Эйлера:
(3-47)
Рис. 3-19.
где О есть любая точка на оси вращения. Если эту точку О принять за начало правой системы координатных осей, то через координаты
22
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
х, у, z точки А и проекции CO^ Co^ вектор Уд выражается формулой
і J к
Va=
IO (О IO
X у Z X у Z
откуда проекции VXf V^ V2 выражаются формулами:
со со
V.. = z X \=(о х — ш г\ У \ z X \ г X
со со
V9 = X V' =00 V-CO Jf.
г \ X у \ X' у
(3-48)
(3-49)
^ 3-10. Вращение вокруг центра
Движение тела называется вращением вокруг центра или сферическим, если точки тела описывают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же неподвижным центром, называемым центром вращения.
Движение тела будет обязательно сферическим, если одна точка тела остается неподвижной относительно взятой системы отсчета. При вращении тела около центра О в любой момент t существует такая прямая OA'(рис. 3-20), что скорости всехточех тела в этот момент таковы же, какие получились бы при вращении тела вокруг этой прямой как вокруг неподвижной оси с некоторой угловой скоростью О). Эта прямая OK называется мгновенной осью вращения, а угловая скорость ы — мгновенной угловой скоростью тела. Мгновенная ось вращения — предельное положение такой оси, вокруг которой по теореме д'Аламбера (§ 3-6) следует повернуть тело на бесконечно малый угол за бесконечно малый промежуток времени, чтобы перевести это тело из данного положения в другое, бесконечно близкое к первому. Мгновенная ось — прямая пересечения плоскостей, проведенных через точки тела перпендикулярно к векторам их скоростей. В любых осях хуг уравнения мгновенной оси имеют вид:
