Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
ствия, измеряемого этой силой. Силы, приложенные к одной и той же материальной частице, обладают следующими свойствами: 1) совокупность нескольких сил, приложенных в одной и той же точке, может быть во всех задачах механики заменена одной силой, называемой их равнодействующей, и наоборот, одна сила может быть заменена совокупностью сил, приложенных к Той же точке и называемых составляющими, или компонентами данной силы; 2) равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, изображается диагональю параллелограмма, сторонами которого служат отрезки, изображающие данные силы (рис. 3-43). Это значит, что отрезок, изображающий силу, является физическим вектором, а потому он называется вектором силы. Вектор R равнодействующей двух сил определяется через их векторы PhQ формулой
R— P-J-Q, (3-87)
а ее величина R и углы аир, составляемые вектором R с векторами P и Q, — формулами:
R = ^pS-J-QS + 2PQ cos 8' sina = -^
? sin 9, J
р і (3-88)
sin ? «-^-sin 9,
где Є = а +?.
Если векторы PhQ направлены по одной прямой, то и вектор R направлен по той же прямой в сторону, куда направлен вектор большей по величине силы, а величина R равнодействующей выражается формулой R = P-{-Q, если векторы PhQ направлены в одну сторону, и формулой R = \Р— Q\, если они направлены в разные стороны.
Если в точке приложено п сил, векторы которых суть (P1, Po, РЛ), то вектор R равнодействующей выражается формулой
R = P1-t-P2-I-... +Рл. (3-89)
Если на прямой, по которой расположен вектор P силы, выбран единичный орт е, то величину P силы условно считают числом алгебраическим, т. е. Р>0, если P направлен в ту же сторону, что и е, и Р<0 — в противном случае, и тогда вектор P силы записывается формулой
P = Pe.
Если через точку приложения силы P провести три, не лежащие в одной плоскости оси XX, уу% гг с ортами elf eg, ез, то силу P можно разложить на три компонента P1, Pg, P3, лежащих на осях xxt уу, zz и
СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
39
имеющих алгебраические величины P1, P2, Рз, так что P = P^1 + + Р2Є2 + Р3Є3. Значения P1, P2, Рз определяются формулами:
(Р. е2Хе3) (ei, е2. е3) '
P2=
(Р. езХві) (ei, е2, е3) '
(Р, C1Xe2) ' (elf е2, е3)
(3-90)
Обратно, величина P силы определяется через алгебраические величины P1, P2. Рз ее компонентов формулой
Р=г
л грї + р?-
v +2P2P3
+ P| + 2P1P2cos(e1,e2) + cos (е2. ес) + 2P3P1 cos (е3, et).
(3-91)
Если вектор P силы лежит в плоскости двух осей, например в плоскости ху, то компонент по третьей оси считается равным нулю: Рз=0.
Проекцией сили на ось (рис. 3-44) называется произведение величин силы на косинус угла ее вектора с осью проекции: Pl = \ PI cos (Р, 1), где 1 — орт оси LL проекции. Если вектор P выражен через орт е его оси формулой P = Pe, так что P есть алгебраическая величина силы, то
P1 = р cos (е, 1).
(3-92)
Проекция равнодействующ?й R сил P1,
P2..... Pn выражается формулой Ri =
=¦¦ Рц + Рц +... + Pni. Если сила P разложена на компоненты по осям
хх, уу, Zz с ортами elf е2, е3, то проекции P
формулами:
Px = Pi + Ps cos (е2, et) + P3 cos (е3, Єї), Py=P1COs(C1, e2) + P2 + P3cos(e3, е2). Pz = Pi cos (Єї, е3) + P2 cos (е2. е3) + P3.
P , P
У z
выражаются
(3-93)
В частности, если оси хх, уу, zz взаимно-перпендикулярны, то Px = P1, Ру=Р2, P^ = P3, т. е. проекции на три взаимно-перпендикулярные оби равны алгебраическим значениям компонентов силы по тем же осям. Величина и направление вектора силы в этом случае выражаются формулами:
P= VPl + Py + Pl-
cos (Р, хх) = , cos (P, уу) =
ГУ
P
(3-94)
COS (Р, ZZ) = -
§ 3-30. Уравновешенные на точке силы
Если сумма векторов сил P1, P2.....Pn, приложенных к одной
точке, равна нулю, то такие силы называют уравновешенными на точке и пишут: (P1, P2, P^)с/эО.
Наличие уравновешенных на точке сил не изменяет механического состояния точки, и потому во всех задачах механики к точке мож-
40
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
но прикладывать и от нее откидывать любую систему уравновешенных сил. Аналитически условие уравновешенности сил на точке выражается через их проекции на три, не лежащие в одной плоскости, оси хх, уу, гг формулами:
І*5**=0' Xlfy-0' 23?*-* (3-95)
A=I k=\ Ar=I
В технических задачах принимается, что, если материальная точка находится в состоянии покоя по отношению к Земле как системе отсчета, то все приложенные к этой точке силы образуют уравновешенную систему. Поэтому формулы (3-95) называются уравнениями равновесия материальной точки.
Пример. Найти радиус-вектор г положения равновесия точки А, притягиваемой к п неподвижным центрам Af1 с радиусами-векторами Tf1 силами, пропорциональными расстояниям точки до центров притяжения.
В этом примере = [X^ (г# — г), где — факторы пропорциональности. Следовательно, уравнение равновесия имеет вид:
п
п H *k Ч
S (Tk - г) = °. откуда г —
п
*=і
§ 3-31. Равновесие точки на гладкой поверхности и гладкой линии
Если точка по условию задачи должна оставаться на заданной материальной поверхности в состоянии покоя при действии на эту точку заданной силы Р, то действие поверхности на точку должно измеряться силой R, которая вместе с силой P должна уравновеситься, т. е. P-f-R = 0. Эта сила R называется реакцией поверхности. Если по физическим свойствам поверхности вектор R при всех условиях нормален к поверхности, то эта поверхность называется гладкой. Если уравнение заданной гладкой поверхности относительно прямоугольных осей хуг есть / (х, у, г) = 0, то условия равновесия точки под действием заданной силы P выражаются формулами:
