Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Я* + *|=0. P, + xg-0. Рг + Х| = 0. (3.96)
где X — неизвестный множитель. Из этих уравнений и уравнения поверхности / (х, у, г) = О и определяются координаты х, у, г положения равновесия и фактор X.
Если точка при действии на нее заданной силы P должна оставаться на линии пересечения двух гладких поверхностей, то возникнут две реакции R1 и R2, нормальные к этим поверхностям, так что P -f- Ri + R2 = 0. Если Si (х, у, г) = 0 и /2 (х, у, г) = 0 — уравнения
СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
41
поверхностей, то координаты х, у, z положения равновесия найдутся из уравнений:
к которым для определения множителей Xi и X2 надо присоединить уравнения поверхностей. Равнодействующая R = R1 -f- Rs называется реакцией заданной линии: она к этой линии нормальна.
§ 3-32. Момент силы
Мера механического воздействия, учитывающая положение силы по отношению к данной точке и выражающаяся векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы относительно данной точки на вектор этой силы, называется моментом силы относительно данной точки. Момент изображается вектором, приложенным в данной точке, называемой центром момента (рис. 3-45):
М0(РЛ) = OAXP = TX Р. (3-98)
Модуль вектора момента называется величиной момента. Он измеряется единицами размерности [сила] X [длина] = =кГс • м и выражается произведением величин силы P на расстояние от центра момента до прямой действия силы, называемое плечом силы относительно данного центра:
I M0 I = Ph. (3-99)
Треугольник OAB с вершиной в центре момента и основанием, изображающим вектор силы, называется моментным. Без учета размерностей
I M0 (Рл) I = 2 ДОЛЛ. (3-100)
Если векторное произведение г X P строится по правой системе, то вектор момента направляется перпендикулярно к плоскости момент-ного треугольника в такую сторону от нее, при наблюдении из которой вектор P силы указывает поворот вокруг центра момента против хода часовой стрелки. При построении векторного произведения г X P по левой системе направление вектора момента изменяется на противоположное. Если плоскость моментного треугольника наблюдается с произвольно выбранной стороны, то величине момента приписывается положительный или отрицательный знак в зависимости от того, куда направлен вектор момента: именно, величина момента считается положительной, если вектор момента направлен в ту сторону, с которой наблюдается плоскость моментного треугольника, и отрицательной в обратном случае. В правой системе величина момента считается положительной, если направление вектора силы указывает поворот вокруг центра момента против хода часовой стрелки, и отрицательной в обратном случае. Если линия действия силы проходит через центр момента, то величина момента равна нулю. Если центр момента взят в точке (х0, yQt Zq), то через координаты (ху yt Z) точки приложения
42
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
и проекции X, Y, Z силы Рл на оси вектор момента выражается формулой
і J к
мО (рЛ) = * - хо У-Уо Z-Z0 t (3_101)
XYZ
При переносе центра момента из точки О в точку О' вектор момента преобразуется по формуле
M0 (Рл) = М0,(Рл) + 00' XP. (3-102)
Отсюда следует, что
ПРОО' мО (рЛ) = пРОО' мО» (РЛ)« (3-103)
т. е. проекции векторов момента около двух центров на ось, соединяющую эти центры, равны между собой. Скалярная величина, равная проекции на данную ось вектора момента силы около любой точки на той же оси, называется моментом силы около этой оси. Если ось
ПрОХОДИТ Через ТОЧКу С (Xq, у0, Zq) И ИМЄЄТ OpT Є, СОСТаВЛЯЮЩИЙ
с осями координат углы а, ?, 7, то момент силы Рл с проекциями X, Y, Z, приложенной в точке А (х, yt z), аналитически выражается формулой
X — Xq У — У о Z-Zq
мLL (Pa) = (Mc (рА). «) =
X
cos а
Y
cos ?
Z
COS T
(3-104)
В частности, моменты силы около координаты осей выражаются формулами:
= yZ-zYMAyy=\ZzXx\ = zX-xz\
M
zz -
X у\ X Y I
-.xY-yX.
(3-105)
Моменты силы ной плоскости
около оси равны нулю, если вектор силы лежит в од-с осью, т. е. ее пересекает или ей параллелен. Если сила P лежит на плоскости ху и приложена в точке A (X1 у, 0), то Мхх = Муу = 0, M2Z=xY —
—уХ.Та.к как в этом случае М2г=> = ± I Mq (Pa) |,' то и алгебраическая величина момента силы іИф(Рд)ОКОло начала координат при наблюдении с положительного конца оси zz выражается той же формулой:
M0 (Рл) = XY - уХ. (3-106)
Момент силы Рл около оси LL (рис. 3-46) можно вычислить непосредственно, спроектировав вектор P силы на плоскость (П), перпендикулярную к оси LL, и вычислив алгебраическую величину момента этой проекции P' около точки пересечения плоскости проекции с осью моментов, устанавливая знак момента наблюдением с положительного конца оси LL, т. е.
ліі(Рл) = лі0(Р'ДІ).
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 43
Если в точке А приложено п сил Pi, P2.....Pn . то- сумма векторов
их моментов около любого общего центра О выражается формулой п п
2 m0(P^ ) = oa X 2 Pk • (3-107)
*=1 k=\
Если силы Pi, P2, ... , Pn имеют равнодействующую R, то эта формула выражает теорему Вариньона: сумма векторов моментов силы, приложенных к одной точке, равна вектору момента равнодействующей:
