Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3-20.
X
шх
У "У
(3-50)
где CO^ CO^ CO^ обозначают проекции вектора а) мгновенной угловой скорости. Конус, составленный положениями в различные моменты времени мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета, называется неподвижным аксоидом, а конус, образованный в теле точками, через которые в различные моменты времени проходит мгновенная ось, называется подвижным аксоидом. При вращении тела подвижный аксоид катится по неподвижному, прикасаясь к нему по общей образующей, которая и является мгновенной осью для взятого момента времени.
§ 3-11. Углы Эйлера
Аналитически положение тела, вращающегося около неподвижного центра О, определяется девятью косинусами углов, составляемых с неподвижными осями хуг осями х'у'г', жестко связанными с вращаю-
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА щимся телом. Эти косинусы располагаются в таблицу:
23
X'
У'
Z'
X
«1
«2
«8
У
01
?2
Рз
г
Tl
Тз
Тз
При вращении тела эти косинусы— функции времени, и проекции co^f> шу'* 01V мгновеннои угловой скорости to на подвиисние оси выражаются через эти функции и их производные формулами:
<°Х' = «2«8 + ?s?e + ЬТЗ = — («2 «8 + P 2 h + Т2 7з). <»У' =«3«l + ?8?l + 78Tl = —(«8 «1 +Рв Pl+ 78 Tl). I (3"51)
шг, = aiefg+ PiP2+ Т1ТЗ = — («ia2 + ?ip2 + TlT2)-
Девять направляющих косинусов осей х'у'г* можно выразить через три угла Эйлера. Прямая ON (рис. 3-21) пересечения плоскостей ху и х'у' называется линией узлов. Положительное направление на оси ON устанавливается так, чтобы при наблюдении плоскости zz* с положительного конца оси N поворот от оси z к оси г1 на наименьший угол происходил против хода часовой стрелки. Угол положительного направления оси N узлов с положительным направлением оси х, измеряемый алгебраически наблюдением с положительного конца оси z, называется углом прецессии: Z. xON — ф.
Угол положительного направления оси х' с положительным направлением ON оси узлов, измеряемый алгебраически наблюдением с положительного конца оси г1, называется углом собственного вращения: jLNOx' = <р. Угол положительного направления оси z' с положительным направлением оси z, измеряемый алгебраически наблюдением с положительного конца оси ON узлов, называется углом нутации: Z.zOz' = Q. Углы ф, <р, б называются углами Эйлера. Направляющие косинусы подвижных осей х'у'г1 с неподвижными выражаются через углы Эйлера формулами:
cos (х, xf) = Oc1 = cos ф cos <р — sin <\> sin <р COS б, cos (x, у') == a2 = — cos ф sin <p — sin <\> COS <p COS 6, cos (x, г') == a3 = sin ф sin 6, cos (y, x') = ?i = sin ф cos <p -f- cos t}> sin <p COS 6, cos (y, y') = P2 = — sin ф sin <p-f COS <\> cos у COS 6, \ (3-52) cos (.у, г') = Рз = —¦ cos ф sin 9, cos [z, x') == 7i = sin 9 sin 0, cos {z, y') = 72 = cos 9 sin8, cos (г, z1) == 78 = cos 8.
24 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
При вращении тела эйлеровы углы ф, ср, 9 — функции времени и угловая скорость со тела выражается через эти углы и их производные
^r = Ф, ^ = Ъ ~ц = 9 формулой
юз = фа + і 2 -f б 2 -f- 2ф* ? cos 9. (3-53)
Проекции Ct)^, (Oy, Co^ мгновенной угловой скорости со на неподвижные оси хуг выражаются формулами:
со = <psin ф sin 9-f- б cos ф; со = — <р cos ф sin 0 -f- 9 sin ф; 1
<о^ = Ф + <р cos 9. ]
= р, (*>y,—q, Oi2,=* г мгновенной угловой скорости u> на подвижные оси х'у'г', жестко связанные с телом, имеют значения: р = ф sin б sin <р -J- 9 cos <р; q = ф sin 9 cos ер — б sin «р; г = ф cos O —f- ер - (3-55)
§ 3-12. Угловое ускорение вращающегося тела
Угловым ускорением называется пространственно-временная мера изменения вращения твердого тела, характеризующая изменение угловой скорости в данное мгновение. Выражается угловое ускорение в виде вектора е, равного пределу отношения разности (H)1-(O значений вектора мгновенной угловой скорости в моменты t и t\ = =-t + &t к величине U = ti — t промежутка времени, при стремлении этого промежутка к нулю:
и сої — (о . Aw dm /0-с.
г = Ит--т- = Um — = — . (3-5.6)
tl->t h-t д*->0д' dt
Проекции вектора е на неподвижные оси хуг выражаются формулами:
—V
= —т^-, е = —-, а на подвижные оси лг'у'г', жестко dt z dt связанные с телом, — формулами:
du>x, d<uy, d(*z,
V = dt ' V = ~df ' V = dt '
Прикладывается вектор е (рис. 3-22) в неподвижном центре О вращения. При вращении около неподвижной оси (рис. 3-19) вектор е направлен по оси вращения и |el равен абсолютному значению jc| углового ускорения точек тела в их круговых движениях.
§ 3-13. Ускорения точек вращающегося тела
Вектор w ускорения точки А тела выражается через ее радиус-вектор г и вектор скорости V формулой Ривальса:
w = eXr + ©XV=eXr+ioX(toXr). (3-57)
Первое слагаемое е X г — w? называется вращательным ускорением; оно направлено перпендикулярно к плоскости (г, е). Второе слагаемое
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 25
ным) ускорением. Оно направлено по перпендикуляру AD, опущенному из точки А на мгновенную ось OK, и имеет модуль | шц J === о>2 • Au.
