Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
s = f(t), (3-6)
выражающая эту дугу как функцию времени t, называется законом движения точки по данной кривой С.
Изменение положения точки в рассматриваемой системе отсчета, определяемое вектором aa1, проведенным из начального положения А в конечное Ai, называется перемещением точки. Если это перемещение происходит за бесконечно малый промежуток времени, то оно само бесконечно мало и называется элементарным перемещением. Если данный промежуток времени от момента *д до момента t?, которым соответствуют точки А и В, разбит на бесконечно малые части M^, которым соответстэуют бесконечно малые перемещения a^1 a^, причем A0 = A, An = B, то предел суммы абсолютных значений элементарных перемещений kkiXk называется путем точки за данный конечный промежуток времени, т. е. путь L выражается формулой
о
Рис. 3-2.
L = lim V I a. t А. I
R=I
Вообще, путь L не равен длине дуги ^jAB.
§ 3-3. Скорость точки
Скорость точки есть пространственно-временная мера движения, характеризующая изменение положения точки в данное мгновение в данной системе отсчета. Вектором V скорости движущейся точки в данный момент і называется предел отношения вектора перемещения р
12
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
(рис. 3-3) за промежуток времени M = I1-1 к величине этого промежутка при стремлении его к нулю, т. е.
(3-7)
Последний предел называется геометрической, или векторной, про-
4
Рис. 3-3.
изводной радиуса-вектора г движущейся точки по времени и обозначается —. Из формул (3-5) для г следует:
dt '
dr
dx
v=~ = і/; (о + j/; (t) + к/; w = і ~ + j f +
fite
fitf'
(3-8)
Отсюда для модуля и проекций вектора скорости на оси системы отсчета получаются формулы:
dx м ,л% ,, _dy л, /Л f, dz
V =
|V| =
(3-9)
Через дифференциал ds дуги кривой, на которой лежит траектория, модуль вектора скорости выражается формулой
IVI =
W
' dt'
(3-10)
Направляющие косинусы вектора скорости относительно осей системы отсчета выражаются формулами:
«0.(^*,-?-?.. cos (V.,, = ?=?.
,V , V« * * (3"П)
Проекция вектора скорости на касательную к траектории, проведенную в направлении отсчета дуг s, имеет величину
dt _-
|V|. (3-12)
теской скоростью и обозначается v. Размерность алгебраической скорости и модуля вектора ско-
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
13
рости есть
[длина] _ м [время] - сек
(3-13)
Вектор скорости прикладывается в конце радиуса-вектора, соответствующего данному моменту t, и располагается на касательной к траектории в сторону отсчета дуг, если v>0, и в противоположную сторону, если V <0. Если V в течение движения постоянно, то движение называется равномерным. По данной постоянной величине Vq скорости и по значению S0 дуги в момент t0=0 закон равномерного движения выражается формулой
s = v0t + s0. (3-14)
При пользовании цилиндрическими и сферическими координатами вместо проекций вектора на оси хуг берутся его проекции на подвижные оси. В случае цилиндрических координат этими осями служат прямая OAf'(рис. 3-1), по которой направлен радиус р проекции Af' точки Af на плоскости ху, перпендикулярная к ней ось WN, проведенная по плоскости ху в сторону возрастания угла <р, и ось Al'Af, параллельная оси Oz. Проекции вектора скорости на эти оси выражаются формулами:
у = ^JL у v? dt ' v<?
dt
Vz dt
(8-15)
В случае сферических координат в качестве подвижных осей берутся прямая OAf (рис. 3-4), по которой направлен радиус-вектор г, перпендикулярная к нему прямая MKв плоскости OAfAf', направяенная в сторону возрастания угла 6, и прямая AfZ, перпендикулярная к плоско-
Рис. 3-4.
Рис. 3-5.
сти OAfAf', направленная в сторону возрастания угла <р. Проекции вектора скорости на эти оси выражаются формулами: .. dr tr db . d<p
(3-16)
Пример. Материальная точка движется равномерно по поверхности сферы радиуса а от экватора к полюсу так, что ее скорость V образует с меридианом острый угол а (рис. 3-5). Определить траекторию, называемую локсодромой, и время, в течение которого точка, начиная движение от экватора, достигнет полюса сферы. Так как в этом случае
14
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Vq = — V cos а и K(P = X» sin а, то а = — г» cos а, a sin 0 — = г» sin er, от-
db . г, dtp
г -J7- = — Vcos a, asm H ~ = dt dt
of3 d<p 9 Ф
куда -^j- = - . Следовательно, in tg — = - ^_ + С. Пусть при
tga
9=0 б = -7p. Тогда С = 0, и уравнение локсодромы получает вид:
б t?f a
ig— = e .При 9=0 <р = со и точка достигнет полюса после бесконечного числа оборотов по сфере. Так как ds=vdt=aYdti* + sin* 9 </<р2= :-, то длина L пути от экватора до полюса
Рис. 3-6.
Рис. 3-7.
я/2
р. г _ С ad^ %a оудет L-J — и Вре„я движе-
ния T= — = --.
V 2х> cos a
В случае плоского движения (рис. 3-6) по плоскости ху, Z = O формулы (3-15) дают проекции вектора V на полярный радиус-вектор р и на перпендикуляр к нему.
Модуль скорости в полярных координатах выражается формулой
