Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Уравнения движения имеют вид: х=a cos со/, у = a sin со/, г = Ы, где a, ft, со — постоянные. Найти радиус кривизны траектории (винтовой линии на круглом цилиндре). Так как в данном примере
К = — асо sin со/, V", = асо cos со/, V = Ь, то v = УаЗсоЗ -4- ?2 т. е. дви-X у г „
^ X) 2 1)2
жение равномерное. Следовательно, w = w^; j w | = —; p = . Так как Wx = — асо2 cos со/, = — асоЗ sin со/, w = 0, то | да | = асо^ и
_ а2и)2-|-г>2 ^
Р ~~ uco2
При равномерном движении wt=0 и вектор ускорения направлен
dv
перпендикулярно к вектору скорости. Если V и — одного знака,
то ^ (V, w) < ~ , абсолютная величина | v | скорости возрастает со вре-
с dv
менем и движение называется ускоренным. Если v и — разных знаков,
то ? (v, w) -~, абсолютная величина | v \ скорости убывает со временем и движение называется замедленным. Если для всех моментов имеет одно и то же аначение = а, то движение называется равнопеременным. По данной величине а и значениям V0 и Sq скорости и длины дуги в момент Z0=O скорость V и длина s дуги выражаются формулами:
т»=а/4-т»о, і=ут?т% (З-3*)
В момент /* = — ^ скорость обращается в нуль, до этого момента, при
/ < /*, равнопеременное движение замедленное, после, при />>/*,— ускоренное.
При прямолинейном движении р = оо, W^ = 0 и вектор ускорения направлен по той же прямой, на которой лежит траектория.
В криволинейном движении W^ = O в точках перегиба и возврата. В случае прямолинейного равномерного движения вектор w ускорения равен нулю.
Если даны уравнения движения (3-5), то касательное и нормальное ускорения можно вычислить по формулам:
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
для сферических координат
W1
1
г sin б dt
^=4tH^4)-(^)2sinecos9} J
(3-37)
В случае плоского движения по плоскости (ху) г = Ои две первые формулы (3-36) дают проекции вектора ускорения на полярный радиус-вектор р и на перпендикуляр к нему, проведенный в сторону возрастания полярного угла <р. В случае кругового движения (рис. 3-11) P=OA=R и формулы дают:
'?—-*(")'" —
Рис. 3-11.
Так как в случае кругового движения d<p
W9 = - «/v, W^ = Wx) -j = (О, то
Производная от угловой скорости^ со кругового движения называется алгебраическим угловым ускорением и обозначается є:
? = , (3-39)
Измеряется угловое ускорение единицами: [е] = ^ . Отсюда в случае кругового движения
Следовательно,
w = #6
(3-40)
I W I = RV 0)4 -|_ єз.
(3-41)
Угол [L (рис. 3-12), составляемый вектором w с радиусом АО, определяется формулой
(3-42)
Так как V = /?сот и = Rex, то при сое > 0 круговое движение ускоренное, а при шг<с0 — Рис. 3-12. замедленное. В первом случае для получения
направления вектора w радиус АО надо повернуть около точки А на угол ja в сторону, противоположную направлению, в котором происходит круговое движение, а во втором — в ту же.
В случае прямолинейного гармонического колебания (3-22) ускорение w' алгебраически выражается формулой
W' = = — ou>2 8ІП (uit -f- a) = — °>%X,
(3-43)
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
19
Так как при равномерном круговом движении точки М, проекция M'
d (— сиу)
которой совершает гармоническое колебание, Wx = —^ = — со2 х,
то ускорение w' проекции AI' равно проекции ускорения w точки М. Направлено w' всегда к центру колебания О.
Глава 3-2
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 3-6. Конечные перемещения твердого тела
Положение твердой плоской фигуры при движении по неподвижной плоскости определяется положением какого-нибудь ее отрезка AB.
Рис. 3-13. Рис. 3-14.
занимают параллельные положения. Перемещения всех точек фигуры геометрически равны между собой: a1a2 = b1b2 = CiC8 = ... Такое перемещение фигуры называется поступательным.
Если отрезок AB занимает в первом и во втором положениях фигуры непараллельные положения A 1o1 и A2S2 (рис. 3-14), то все перемещение фигуры можно выполнить одним поворотом на угол Ь== ^ A1KA2 вокруг центра К, лежащего на пересечении перпендикуляров к перемещениям AlA8 и BiB2 в их срединах CwD. В этом состоит теорема Эйлера — Шаля. Положение тела, имеющего закрепленную точку О, определяется положением двух точек Л и В, не лежащих на одной прямой с центром О. Если при перемещении тела из первого ПОЛОЖеНИЯ BO1BTOpOe точки А и В совершили перемещения AiA2 и BiJS2 (рис. 3-15), то перемещение тела из первого положения во второе можно выполнить одним поворотом на двугранный угол AiOKAQ = BiOKB3 вокруг оси OK, по которой пересекаются плоскости, проведенные перпендикулярно к перемещениям AiA2 и SiS2 в их срединах С и D. В этом состоит теорема д Алам-бера — Эйлера. Такая ось OK — единственная и не зависит от выбора точек А и В. Общее перемещение тела, при котором отрезок AB из по-
о
Рис. 3-15.
20
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
ложения AiB1 (рис. 3-16) переходит в положение A2Bg, можно выполнить, переместив сначала тело поступательно так, чтобы точка А перешла из положения Ai в положение A2, а затем повернуть тело вокруг
оси A2ZC или сначала переместить тело поступательно так, чтобы точка В пе-
