Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
IVl =
+ Р2
dt
В случае кругового движения (рис. 3-7) P = R = const. Скорость направлена перпендикулярно к радиусу ОМ, и ее проекция на касательную, направленную в сторону возрастания полярного угла <р (против хода часо-
d<o
вой стрелки), имеет величину V^=R-—.
d<p dt
Производная — = со называется алгебраической угловой скоростью точки в круговом движении. Она измеряется единицей [со] = = секті. Алгебраическая скорость v в круговом движении имеет величину
v = R(i>. (3-17)
Проекции скорости на оси х и у имеют значения:
V = —уш, V = .VCu.
(3-18)
Круговое движение равномерно при со = со0 = const. Угол <р в равномерном круговом движении выражается формулой
<р = со0* + <ро, (3-19)
где уо — значение угла <р при t*=0. Период T полного оборота при Круговом движении с угловой скоростью ш выражается формулой
2%
T= —. (3-20)
со *
Угловую скорость со можно выразить числом п оборотов в минуту по
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
15
формуле
30
(3-21)
Проекция Af' (рис. 3-8) на ось х точки Af, совершающей равномерное круговое движение по окружности радиуса а, движется по закону
X = a cos (Ы -J- <ро) или, полагая ?о~а—^-'
X = a sin (W -f а). (3-22)
Это движение называется гармоническим прямолинейным колебанием. Расстояние Ia между крайними точками A1 и A2 называется размахом колебания, середина О между точками A1 и A2 называется центром колебания; наибольшее отклонение OAi = ОА2 = а колеблющейся точки от центра называется амплитудой колебания; величина oof-J- ее называется фазой колебания.
Если закон прямолинейного движения имеет вид:
X = O1 sin (Ы -J- «X1) -J- а2 sin (ш/ -f а2), (3-23)
то это движение представляет собой гармоническое колебание (3-22), где
а = у~а2 + а% -f (2ata2 cos (а2 — а j), (3-24) A1 sin Ct1 -f Да sin а2
У
T
1 о
Af' I
tg ос =-
(3-25)
" ai cos «X1-J-O2 cos а2*
Если уравнение плоского движения имеет форму
X = O1 sin (to/ -J- Ct1), >> = а2 sin ((0/-J-Ct2) то траектория лежит на эллипсе
* sins 8,
Рис. 3-8.
(3-26) (3-27)
4 + 4 _2-^cose а\ ^ а\ O1 а2
где Q = CC1 — а2. При 8 = 0 траектория лежит на прямой-^---~- =0,
X у
а при 6 = те —на прямой--J- — =0.
O1 O2
§ 3-4. Секторная скорость
Секторной скоростью называется пространственно-временная характеристика движения точки по отношению к данному центру. Секторная скорость измеряется пределом отношения приращения площади S (рис. 3-9), описываемой радиусом-вектором р точки, имеющим начало в данном центре О, к соответствующему промежутку времени, при стремлении этого промежутка к нулю. Секторная скорость применяется главным образом к исследованию плоского движения и в полярных координатах выражается формулой
^?eJLp2 Ё?.. (3-28)
(ft ї Р (ff V '
Рис. 3-9.
16
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
§ 3-5. Ускорение точки
Ускорением, точки называется пространственно-временная мера изменения движения, характеризующая изменение скорости точки в данный момент в данной системе отсчета. Вектором ускорения w в данный момент t называется предел отношения приращения AV = Vj — V вектора скорости за промежуток времени M = — t к величине этого промежутка при стремлении его к нулю, т. е.
Hm
V1-V
= Um —т.
(3-29)
Последний предел называется геометрической производной вектора V скорости по времени и обозначается . Из формулы (3-8) для вектора V следует:
(3-30)
Отсюда для проекции w на оси системы отсчета и для его модуля получаются формулы:
d*x dV~
d*y dVv
d*z
W
2
"ii
' dt •
Модуль [w] вектора ускорения измеряется единицами: [длина] _ м
~[врЄМЯ]2 СЄК2 '
[W] = J
(3-31)
(3-32)
Вектор w ускорения приложен (рис. 3-Ю) в конце А радиуса-вектора г, соответствующего данному моменту t, и лежит в соприкасающейся плоскости траектории, т. е. в плоскости, j проходящей через касательную AT и главную нормаль An. При разложении вектора ускорения на два компонента по касательной и главной нормали он выражается u/t формулой
dv . г»*
(3-33)
Рис. 3-Ю.
где т — орт касательной Л Г, проведенный в положительном направлении отсчета дуг по кривой, на которой лежит траектория; р — радиус кривизны этой кривой в данной точке А; V — орт главной нормали, направленной к центру кривизны (в сторону вогнутости); г» — алгебраическая скорость в данный момент. Первый компо-dv
HeHTW =-ггТ называется касательным т dt
(тангенциальным) ускорением и соответ-
ствует изменению скорости вдоль ее направления, второй компонент wv
7)2
¦* —V называется нормальным (центростремительным) ускорением P
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 17
хх + уу+ ZZ .
(3-35)
w у(ху -ухУ + Суї-УуУ + ігх-х Z У
К*8+;8+;2
. dx .. d*x
где*=^-, X=— ит. д.
Проекции ускорения на подвижные оси, для проекций скорости на которые даны формулы (3-15) и (3-16), выражаются так: для цилиндрических координат
rfSp /</<р\Я 1 d / 0rf<p\ d*t. „,fi,
и соответствует изменению скорости перпендикулярно к ее направлению.
