Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Вращательное и центростремительное ускорения, вообще, не являются касательным и нормальным ускорениями точки. Но в частном случае вращения вокруг неподвижной оси w? = w^ и \уц = у^. Проекции вектора w ускорения на неподвижные оси хуг и оси х'у'г', жестко связанные с телом, определяются через соответственные координаты х, у, г и Xі, у1, гу точки формулами:
Vx = *у* - '2У + <»х («хх + °у + <V}
0)2*,
у -f- со г) — ы*у,
© '= є г' — ? „У -f- со (со X' + CO41J'' -f- со г') — а>2.*\
X у Z XX у Z
„г9) ¦
- со2у,
- u>2*'.
(3-58)
§ 3-14. Плоское движение твердого тела
Плоским или плоско-параллельным движением тела называется такое, при котором все точки тела движутся относительно данной системы отсчета только в плоскостях, параллельных неподвижной в этой же системе плоскости, называемой плоскостью движения. Траектории, скорости и ускорения точек тела при плоском движении математически одина-= ковьі с траекториями, скоростями и ускорениями проекций этих точек на плоскость движения. Потому теория плоского движения тела сводится к теории движения по неподвижной плоскости твердой фигуры, представляющей проекцию тела на плоскость движения.
Для определения положения подвижной фигуры на неподвижной плоскости ху (рис. ?23) выбираем на фигуре произвольно точку О', называемую основной или полюсом, и принимаем ее за начало осей х* и у', жестко связанных с фигурой. Тогда положение фигуры на плоскости ху определяется радиусом-вектором г0 основной точки О' и углом <р оси Xі с осью х, называемым углом поворота фигуры вокруг полюса. При движении фигуры г0 и координаты х0, у0 полюса О', а также угол 9 поворота являются функциями времени, и формулы
Рис. 3-23.
* = /і('). У = hit), 9=/8(f)
(3-59)
называются уравнениями плоского движения. Производная — от угла поворота фигуры вокруг полюса от выбора полюса не зависит и назы-
dt'
вается угловой скоростью со фигуры: ш =
Вектор (о, направленный перпендикулярно к плоскости движения и имеющий проекцию CO^ = на ось г, составляющую с осями х и у
называется центростремительным (или осестремитель-
26
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
правую систему, называется вектором угловой скорости фигуры. Через вектор Vo скорости" полюса О', вектор угловой скорости фигуры и радиус-вектор г' точки M относительно по-IA люса О' вектор V скорости этой точки выражается формулой
V = V0 + W X г'.
(3-50)
ции V
При поступательном движении фигуры
V = V0, т. е. (0 = 0; при вращении вокруг неподвижного полюса V0 = 0, г' = г и V = = (і) X г. Произведение то X г' называется вращательной скоростью точки M вокруг
полюса О' и обозначается VjJj ^ =(оХг'.так что V^ =V0 + V{m]. При этом (рис. 3-24)
V и*'* 1 O1M; J V$,) J = O1M .14. Проек-и V вектора скорости V определяются через координаты х, у
Рис. 3-24.
точки M относительно неподвижных осей ху формулами:
V=V vx уох
• «> ІУ — Уо).
(3-61)
АО1)
Направление Vj^ при наблюдении с конца вектора со указывает обход вокруг полюса против хода часовой стрелки. Ha подвижные оси х'у1, жестко связанные с движущейся фигурой, проекции Vt и V , скорости V выражаются через координаты х1, у' формулами:
Vx'~Vox Cos?
У у, = - V0x sin 9 + VQy cos 9 +
VQvsin9-
tp + COJC'. J
(3-62)
§ 3-15. Мгновенный центр скоростей
Если с плоской фигурой жестко соединить всю плоскость, на которой лежит эта фигура, то эта присоединенная плоскость будет вместе с фигурой двигаться по неподвижной плоскости с той же угловой скоростью (о и Скорости точек присоединенной плоскости вычисляются по тем же формулам (3-61) и (3-62). Если для данного момента времени со ф 0, то на присоединенной плоскости найдется единственная точка Р, скорость которой в данный момент равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей, или мгновенным центром вращения фигуры. Координаты хр, у^ мгновенного центра по неподвижным осям определяются формулами:
а координаты Xp, Ур по неподвижным осям, жестко связанным с фигурой, — формулами:
V0x sin 9 - V cos 9 VQx cos ер + V sin 9
ХР =-u--• У р--ZT^-• (3"64>
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
27
Геометрически точка P строится как пересечение перпендикуляров, восставленных в двух точках фигуры на ее плоскости к прямым, по которым направлены скорости этих точек.
Рис. 3-25.
Рис. 3-26.
Если за полюс О' (рис. 3-25) принять мгновенный центр скорости Р, то для данного момента t формула (3-60) примет вид:
V = со X г' = VJj?*, (845)
т. е. скорости всех точек фигуры в даннный момент таковы же, какие получились бы при вращении рисунка вокруг неподвижной точки P с мгновенной угловой скоростью со. Эпюра скоростей точек, лежащих на одной прямой AB с мгновенным центром Р, представляет собой прямоугольный треугольник с вершиной в точке P (рис. 3-26). Для вращательных скоро-
стей V^') точек, лежащих на одной прямой с полюсом О1
________,________ . ____________ _ Рис. 5-27.
(рис. 3-27), эпюрой служит прямоугольный треугольник с вершиной в полюсе О', а потому концы векторов Vftf скоростей точек M лежат на одной прямой, параллельной гипотенузе этого треугольника.
