Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
IV. Не будем учитывать эффектов теплового движения, используя чисто статическую модель кристалла. V. Не будем учитывать атомный фактор рассеяния, описывающий интерференционные эффекты внутри рассеивающего атома, обусловленные тем, что его размеры соизмеримы с длиной волны.
Вычислим разность фаз вторичных волн от двух атомов решетки, находящихся в узлах А1 и А2, соединенных вектором г (рис. 1.23). Обозначим единичные векторы нормали падающей и рассеянной волн соответственно через t0 и t. Найдем разность фаз вторичных волн в точке Q, на большом расстоянии R(R> \г\, /), так что линии A j Q и А 2 Q можно с большой точностью считать параллельными друг другу и нормали t. Разность хода двух рассеянных лучей равна
А2В2 - A lBl = r(t —t0) = г q. (1.30)
Вектор (t —10) = q, как видно из рис. 1.24, нормален к плоскости, условно играющей роль плоскости отражения для падающего (t0) и отраженного (г) лучей. Если через д обозначить угол скольжения для падающего и отраженного на эту плоскость лучей, то угол рассеяния (угол между t0 и t) равен 2i? и, следовательно, из рис. 1.24 находим
\q 1= U - t0 1 = 2 sin i?. (1-31)
Если ввести волновой вектор к = 2 яг/Х, модуль которого равен
1*1 = 2я/Х, (1.32)
то из разности хода (1.30) находим для разности фаз Д^:
Ay = kr (t -t0) = k(rq). (1-33)
Амплитуда рассеянной волны в точке Q будет максимальна для направлений, у которых разность фаз кратна величине 2 я, когда амплитуды волн,
38
рассеянных от атомов в узлах А, и А 2, складываются. Вспомним теперь, что г есть один из векторов трансляции (1.17). Тогда для дифракционного максимума должны выполняться условия Лауэ
2 71
v’a,- =~^~ (°1 ч) = 2-п пц (/=1,2,3), (1.34)
где т( — целые числа. Обозначим направляющие косинусы вектора q по отношению к осям д,- через а,-, тогда для (1.34) будем иметь
(atq) = 2а,- sin д ¦ а,- = mt X. (1.35)
В итоге получается селективная дифракционная картина отражения рентге-
Плоскость отрошешя
Рис. 1.23. Определение разности хода рассеянных лучей двумя узлами решетки А, и Л2.
Рис. 1.24. Построение нормали к плоскости скольжения рентгеновских лучей в кристалле.
новских лучей от кристалла, ибо уравнения (1.35) имеют решения только для некоторых углов i9 и длин волн X при данной решетке (д,-) и выбора плоскости отражения (а,-).
Получим теперь из (1.35) соотношения Вульфа — Брэгга для селективного отражения от заданного семейства параллельных плоскостей кристалла с расстоянием d между соседними. Из (1.35) следует, что а,в направлении дифракционного максимума пропорциональны величинам т1/а1, т2/а2,
т3/а3. Последующие плоскости решетки (т{ тг тг) отсекают на осях д,-, по определению миллеровских индексов .отрезки на расстояниях соответст-венноа1/л«1, а2/т2, а3/т3. Из элементарной геометрии следует, что направляющие косинусы к плоскостям (т1 т2 т3) тоже пропорциональны ajm^ т.е. эти плоскости параллельны плоскости отражения. Поэтому дифракционные пики возникают, когда направление рассеяния есть направление отражения падающей волны от плоскости решетки, совпадающей с плоскостью отражения. Расстояние d(ml т2 т3) между соседними плоскостями семейства (тх т2 т3) равно
d(m, т2 т3 ) = а1а1/ш1 =а2а2/т2 -а3а3/т3, (1-36)
и тогда уравнения Лауэ принимают вид
2d (mi т2 т3) sin д = X. (1.37)
Заметим, что целые числа mlt т2, т3 в (1.37) не являются просто индексами Миллера различных плоскостей кристалла, ибо они могут содержать целый общий множитель п (сокращающийся при индексации Миллера). Поэ-
39
тому, если в (1-37) считать т’ =тф1 индексами Миллера, получим
2 d (т\т'2т'^ sin д = п\. (1.38)
Это и есть знаменитая формула Вульфа - Брэгга 1, где целое число п дает порядок отражения.
Следует отметить, что уравнения Лауэ и формула Вульфа - Брэгга являются следствием только основного свойства кристалла - периодичности его атомной структуры и не связаны ни с его химическим составом, ни с расположением атомов в отражающих плоскостях. Последние факторы влияют на величину интенсивности пиков и поэтому очень важны при определении относительной интенсивности пиков разных порядков. Из (1.38) также видно, что условие визникновения дифракционного пика есть X < 2d.
Воспользуемся для описания дифракции рентгеновских лучей в кристаллах введенных в § 1.3 представлением об обратной решетке. Из (1.27) можно в (1-38) вместо d (т\ т\т\) ввести | Ь(т\ тг т'г) Г1. И тогда, если gi или mi содержат общий множитель п, п-й узел обратной решетки (в ряду узлов, считая от начала координат обратной решетки) с компонентами (или »?,-) отвечает пику отраженного рентгеновского луча п-го порядка от соответствующих плоскостей кристалла. Поэтому каждый узел обратной решетки отвечает возможному пику отражения. Эвальд (1913 г.) дал этому простое геометрическое толкование (рис. 1.25).
