Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть отрезок А О равен вектору t0/\, длиной X"1, направленному вдоль нормали к фронту волны падающего излучения. Точно также отрезок А В равен вектору t/ \ той же длины, параллельному направлению, вдоль которого рассматривается пик рассеяния. Тогда вектор ОВ будет параллелен вектору рассеяния q (см. (1.30)) и нормален к одной из плоскостей решетки, например gh Длина ОВ по (1.31) равна 2sin д/\, что по (1-38) равно 1/^Gfi ?2^3)1 если выполнено условие дифракции. Таким образом ОВ лежит в направлении вектора обратной решетки и по модулю равен ему. Поэтому, если точка О совпадает с началом координат с обратной решетки, то точка В должна попасть в другой ее узел g(.
Тогда, следуя Эвальду, можно произвести такое построение. Если О -начало координат, то в него следует направить вектор А О, длиной X"1 вдоль падающего луча и из А как из центра описать сферу радиусом X"1 = \АО |. Она в рассматриваемом случае должна пройти через точку Д. Поэтому условия Лауэ (1.34) или Вульфа — Брэгга (1.38) эквивалентны условию, что дифракционный пик не может возникнуть, если на эту сферу не попадает хотя бы еще один из узлов обратной решетки В. Эту сферу называют сферой распространения. Такой метод, заменяющий рассмотрение плоскостей в прямом пространстве на точки в обратном, значительно упрощает решение всех задач дифракции в кристаллах.
Поскольку ниже этот метод будет часто использоваться, то приведем еще одну векторную модификацию условий Вульфа — Брэгга (1.38). Пусть
Ь* = 2 rrbg, (1.39)
где bg — вектор обратной решетки (ниже вектором обратной решетки всегда
1 Соотношение (1.38) было впервые выведено русским ученым Г. В. Вульфом, а на год позже англичанином У. Брэггом, который проверил его экспериментально в 1913 году.
40
Рис. 1.25. Геометрическое толкование (по Эвальду) связи пика отражения с узлом обратной решетки.
О — начало координат обратной решетки; АО — вектор падающей волны; А В — вектор отраженной волны; ОВ — нормаль к плоскости отражения.
будем называть bg), а к — волновой вектор падающей волны (см. (1.32)), из построения Эвальда (см. рис. 1.25) находим (АО + ОВ)2 =
= (ВА)2, или (к + Ь*)2 = (к)2, откуда (1.38) получаем в виде
2(кЬ*) + Ь*2 =0. (1.40)
Вычислим теперь так называемый атомный фактор рассеяния 1. Строго говоря, для этого надо воспользоваться методами квантовой механики. Однако мы ограничимся здесь квазиклассическим методом. Для простоты будем считать процесс рассеяния упругим, когда состояние рассеивающего атома не меняется, поэтому потенциальную энергию атома можно усреднить по его волновой функции. Согласно борновскому приближению, дифференциальный поперечник рассеяния пропорционален величине
I/ Фк* v (г)Фк0с1г \2= | Vkko \2, где фк и Фк0 — соответственно волновые функции падающей и упруго рассеянной частиц (|к | = |к0 |), равные выражениям фк = ехр^— prjи
Фк0 = exp PorJ, ар = h/t и р0 = h?0 — импульсы падающей и рассеянной
частиц. Из выражения для Укк0 можно легко получить формулу Вульфа — Брэгга (1.38). Для этого разложим периодический потенциал V (г) в ряд Фурье (1.21)
V (г) = 2 Vb* ехр [ / (bg* г)]
Ь *
Ь8
(см. также (1.39)). Тогда для Укк0 с волновыми функциями в виде плоских волн имеем
* ( Vb* ~ при к0 + bg - к = 0,
vkk = 2 / ехр [ / (к0 + Ьх - к) г] dr - \
0 bg 10 - во всех других случаях.
(1.41)
Таким образом, рассеянный луч можно наблюдать лишь в направлениях с
' См. ниже § § 2.7.3. - 2.7.5 или Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука, 1974, § 126.
41
волновыми векторами к = к0 + Ь*. Кроме того, в силу упругого характера рассеяния,имеем |А| = |Л0 |. Тогда из рис. 1.25 (если положить t = k,t0 = = к0 ) сразу следует, что | bg* \ = 2 I к | sin i?. Используя далее (1.31), (1.32) и (1.39), приходим к формуле (1.38).
Возвращаясь к поперечнику рассеяния, видим, что он здесь равен квадрату модуля интеграла (см. (1-32) и (1.34))
SV(r)eiqrdr. (1.42)
Усредненная потенциальная энергия атома равна V (г) = еу (г), где у (г) — потенциал поля атома. Если через р (г) обозначить плотность электрического заряда атома, то у(г)н р (г) связаны между собой уравнением Пуассона Ау (г) = —4 тгр (г). Этому же уравнению должны удовлетворить все Фурье-компоненты потенциала ехр (iqr), т.е
А [щ ехр (z'flr-)] = q2<pq ехр (iqr) = 4тгpq ехр (iqr)]
это сразу дает ^ = (4n/q2)pq. Подставляя в зто уравнение явные выражения коэффициентов Фурье, находим
/1р (л) ехр (—iqr) dr = 4тгq2 f р (г) ехр (- iqr) dr. (1-43)
Плотность заряда атома р (г) складывается из точечного заряда ядра + Zed (г) (Z — порядковый номер элемента, б (г) — дельта-функция Дирака) и заряда Z электронов с пространственной плотностью р (г). Тогда для интеграла в правой части (1.43) получаем
