Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
/ р (л) ехр (-iqr) = - е f п (г) ехр (iqr) dr + Ze.
Таким образом, интеграл (1.42) имеет вид
/ V(r)exp(iqr)dr = 4ne2q~2 [Z-F(q)], ^
где величина
F(q) = f п (r)exp(iqr)dr (1-45)
называется атомным форм-фактором, и дает величину отношения амплитуды волны, рассеянной ’’размазанной” электронной плотностью атома п (г), к амплитуде волны, рассеянной на точечном электроне; F (q) является функцией угла рассеяния i? и волнового вектора рассеиваемой частицы. Если п (г) — сферически симметричная функция, т.е. п (г) = п (г), то имеем
оо п 2п
f n(r) ехр (iqr) dr = J J J n (r) exp (iqr cos ©) X
ooo
oo
X r2 sinQdQdipdr = 4n f r2 n (r) (sin qr/qr) dr.
0
Рассматривая 4irr2n (r) dr = w (r)dr как вероятность того, что рассеивающий электрон находится в слое между сферами с радиусом г и г + dr, вместо (1.45) получаем
F(4)=5 w (r)(sinqr/qr)dr. (1-46)
О
Для F (q) имеются таблицы, рассчитанные по методу Ферми — Томаса или 42
Рис. 1.26. Нейтронный TV и рентгеновский X форм- Ftq)
факторы F (q) железа как функции волнового U0
числа q определяемого изменением импульса рассеиваемой атомом частицы
О, В
Хартри — Фока1 с помощью значений п (г) или w(r ). На рис. 1.26 приведены графики нейтронного (N) и рентгеновского (X) q %
форм-факторов2 для железа как функций
q = 4Trsin0/X (по Натансу и Пикару - см. 0 z ь В 8 W
в сб.: Magnetism/EdPado G. Т., Suhl Н. —
N.J.: Acad. Press, 1963, v.3). Поскольку спиновая плотность связана в основном с наружной частью электронной оболочки атома (З^-слой у атома железа), то максимум радиального распределения спиновой плотности Ап (г) лежит дальше от центра ядра, чем максимум зарядовой плотности. Из (1.46) видно, что величина магнитного форм-фактора спадает с ростом q быстрее, чем величина рентгеновского, как это видно из рис. 1.26. Из определения (1.46) сразу видно, что значение форм-фактора для <7=0 равно числу электронов в атоме Z (для рентгеновского случая) или величине нескомпенсированного спинового момента (в нейтронном случае).
Выше уже отмечалось, что из формул Лауэ или Вульфа — Брэгга (при сделанных предположениях) можно определить лишь расположение пиков. Но важно знать и величину относительной интенсивности различных пиков, их форму и зависимость от температуры. Эта информация позволила бы определить тип элементарной ячейки кристалла, число и расположение атомов в ней и т.п. Для этого следует определить амплитуду волны, рассеянной в каком-то направлении всеми атомами элементарной ячейки. Так же, как и вслучае атомного фактора рассеяния, структурной амплитудой F(gig2g3) для отражения типа ?,• назовем отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде волны, рассеянной точечным электроном (при той же длине волны рассеиваемой частицы). Выражение для F (g\ gi g3) имеет вид
F(g1g2g3)= Z Fsexp(i A<ps) = 2Fsexp[i — (147)
s s \ A /
сумма берется по всем атомам элементарной ячейки, Д<& — фаза волны, рассеянной атомом типа s (s = 1, 2,a), Rs — вектор, определяемый по (1.18) — атомный фактор атомам (см. (1.45) и (1.46)). В соответствии
суравнениями (1.33) и формулой (118) имеем
Rs4 = X (gi fi(,) +*2 ?} +?з ?}), (148)
‘См. Ландау Л. Д. и ЛифшицЕМ. Квантовая механика (нерелятивистская теория).-М.: Наука, 1974, § 139.
1 В случае нейтронов под л (г) следует понимать плотность некомпенсированных маг-
нитных моментов, т.е. разность плотностей заряда для электронов с положительной (+) и отрицательной (-) проекциями спина: Дл (г) = л+ (/¦)-л_(г).3десь имеется в виду только зависящая от спина часть нейтронного форм-фактора.
г * в 8 ю.
о, А
43
и поэтому из (1.47) следует
/•’ (?i g2 g3) = ? Fs exp [i2n {gx + g2 ?2U> + g3 *)] •
(1.49)
S
а также
|F(?i?2?3)I2 = [ *Fs cos 2ТГ (^, f + ?2 ?2^ +^3?(3J>)]2 +
S
irvr • -> , (-<*> x x f-^4 2
+ sin 277- (gt ?, +g2%2 +?зЬ )] ¦
(1.50)
S
Если все атомы элементарной ячейки одинаковые, то факторы Fs одинаковы для всех s, и их можно вынести за знак суммы. Тогда вместо (1.49) получаем
Например, в случае ГЦК решетки из одинаковых атомов имеем в ячейке четыре атома в точках 0 0 0, 0 ХА 'Л, 'АО 'Ли ХА 'Л 0. В этом случае
5=1+ ехр [in(g2 +?3)] + ехр [in (#, + ?3)] + ехр [in (?, + ?2)] . (1.53)
Если сумма двух индексов#,— четная, то соответствующее слагаемое в
(1.53) равно (+1), если же нечетное, то (—1). Например, для плоскостей типа{1 0 0}имеем?2 +?3 = 0- четное и#, +g2 = I,#! + ?3 = 1 - нечетное, и поэтому/= 0, т.е. отражения нет. Наоборот, для плоскостей типа{1 1 1} имеем g2 + g3 =gi +g2=gi +g2 =2 четное и 5 = 4, т.е. отражение имеет место. Этому можно дать простое физическое объяснение: в ГЦК решетке плоскости {1 0 0} являются плоскостями отражения, и при отражении от двух соседних параллельных граней куба разность фаз равна 2п. Но атомы, расположенные в середине граней, образуют промежуточную плоскость, которая дает разность фаз п и поэтому гасит вклад в амплитуду рассеяния от соседних плоскостей. Это графически показано на рис. 1.27. Конечно, такое гашение имеет место, когда все четыре атома в ячейке одинаковые. В случае ОЦК решетки 5 = 1 + ехр [in (#! +#2 +?3)]. Здесь также плоскости {1 0 0}не отражают. Однако в ОЦК решетке с различными атомами, например Cs Cl, имеем F = FCs + FC]{exp [п (gt +g2 + ?3)]}и отражения от {1 00} не будут гаситься.
