Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
4 4 ¦ %г
28
Таблица /.ft. а (окончание)
Наименование гк'мсн-га симметрии
--I
/Г1
Графические обо дначеимя но IT
вертикальные
lopiiioHia.ibHMe
Инверсионные оси порядка:
1
центр инверсии
2
плоскость симметрии:
3
4 6
Л
ф
в
1 Международная система.
2 Этот знак ставится на чертежах //'в правом верхнем углу.
Та&шца 1.6. б Обозначения винтовых осей
Порядок Величина Обозначе Графические обозначения по ГГ1
Вертикаль Вертикаль Горизонталь*
ные винто ные винто иые винтовые
вые оси вые оси * оси
I
— т ?
1
Г
?
"Г
А-
Л
Международная система.
29
Винтовая ось л-го порядка — это элемент симметрии, включающий поворот вокруг оси л-го порядка и смещение, параллельное этой оси.
Смещение является целым кратным л-й доле обычной минимальной трансляции т в данном направлении, т.е. на ат/л (л = 2, 3,4, 6; а = 1,2,... ..., (л- 1)).
Плоскостью скольжения называется элемент симметрии, включающий операцию зеркального отражения и смещение параллельно зеркальной плоскости на расстояние т/2, равное полупериоду обычной минимальной трансляции в данном направлении. Схематически изображение обеих этих составных операций симметрии приведены на рис. 1.15 и 1.16. В табл. 1.6, а, б указаны важнейшие графические обозначения основных операций симметрии (осей и плоскостей) по международной системе.
Учет всех операций трансляции приводит к тому, что каждому из 32 кристаллических классов соответствует от одной из 28 пространственных групп; полное их число равно 230 (Е.С. Федоров, А.М. Шенфлис). Вывод этих групп можно найти в специальной литературе1.
§ 1.3. Обратная решетка
Для описания физических характеристик кристаллов удобно использовать так называемую обратную решетку . Все эти характеристики имеют тот же период, что и решетка кристалла, т.е. для каждой величины А (/•) имеем
A(r + Rm) = A(r), (1.20)
где вектор Rm дается (1.17). Периодическую функцию А (г) можно разложить в ряд Фурье
А(г) =2 A ехр(2vibgr), (1.21)
ьх
где сумма берется по всем возможным значениям вектора bg, удовлетворяющим условию периодичности (1.20), когда замена г наг + Rm не меняет экспоненциальные сомножители в (1.21). Отсюда следует условие, чтобы скалярное произведение
(bgRm) = mibxai + m2bga2 + m3bga3
было всегда целым числом, т.е. чтобы три произведения
bgai ~?\, bgdi - g2, bga3 = g3
были целыми числами (положительными или отрицательными, включая нуль) , g2,g3 ¦ Это можно получить, если ввести вектор обратной решетки
bg =^1*1 +g2b2 +g3b3, (1-22)
где некомпланарные векторы й,- (/ = 1, 2, 3) связаны с векторами прямой решетки соотношениями
Ьх =ш-'\а2аъ\. Ь2 =ш-Чв3в,|, й3 = ш_|[в,в2J, ш=ах[а2а3],
' См. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применения в физике. М.: Физмапщ, 1958; Ормонт Ь.Ф. Структуры неорганических веществ. М. J1.: Гостсхиздат, 1950.
- Это понятие впервые ввел Гиббс Дж.В.
30
u; - объем элементарной ячейки. Из (1.23) следует: I 0. если ('#/,
(1.24)
Из (1.22) - (1.24) видно, что суммирование в (1.21) идет по всем возможным значениям чисел gt ,g2 ,g3. Поскольку векторные произведения \а ,а2 ] и т.д. дают площади соответствующих граней элементарной ячейки, то из (1.23) следует, что размерность векторов Ь,- есть обратная длина, а по величине они равны обратным величинам высот параллелепипеда в элементарной ячейке прямой решетки. Векторы й,- (1.22) можно рассматривать как основные периоды обратной решетки. Нетрудно видеть, что обратные решетки однократных примитивных решеток Браве являются однократными примитивными решетками той же системы. В частности, ГЦК и ОЦК решетки ’’меняются местами” при переходе от прямой к обратной. Обратные решетки структур с центрированными основаниями сохраняют тот же тип. Это утверждение предоставляем проверить читателю, а также доказать, что объем элементарной ячейки обратной решетки из равен обратной величине объема ячейки прямой решетки, т.е.
Если векторы Ь; отнести к прямоугольной системе координат, то их составляющие будут bix, biy, bit и (1.22) примет вид
Например, для прямой ОЦК решетки матрица Доцк имеет такой же вид, как Лрцк:
Часто имеют дело с системой параллельных плоскостей кристалла. Если выбрать начало координат в одном из узлов решетки Браве, взять определенный вектор обратной решетки bg и записать произвольный вектор г прямой решетки в виде г =mlal + m2a2 +m3a3, то уравнение для системы плоскостей запишется в виде
