Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
дями
Число ближайших соседей (в первоП координа 6 8 12
ционной зоне)
Расстояние между узлами - следующими за бли V?* а а
жайшими соседями
Число соседей во второй координационной зоне 12 6 6
жит 24 элемента и пять классов единичный элемент Е, восемь поворотов С3 и Сз, шесть поворотов С4 и С| .триповорота С4 и, наконец, шесть поворотов С2. При переходе от группы О к группе всех преобразований симметрии куба 0^ добавляется еще центр симметрии. Это превращает оси третьего порядка группы О в зеркально-поворотные оси шестого порядка (пространственные диагонали куба). Кроме того, появляются еще шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням куба (ой и 'ои на рис. 1.12). Всего в группе Oh 48 элементов и десять классов; к 24-м элементам и пяти классам группы О добавляются следующие 24 элемента в пяти классах, складывающиеся из инверсии /, восьми зеркально-поворотных преобразований S6 и Sq, шести ззркально-поворотных преобразований С4ой, С4ой вокруг осей четвертого порядка, трех отражений О/, в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям четвертого порядка, и шести отражений av в плоскостях, вертикальных по отношению к этим осям.
Аналогичным образом можно рассмотреть и все остальные 30 точечных групп1. Приведем лишь в табл. 1.5 геометрические и атомные характеристики решеток ПК, ОЦК, ГЦК. На рис. 1.13 представлены элементарные ячейки Браве и обычные однократные примитивные ячейки для этих кристаллов. На рис. 1.14, а приведено то же для случая кристаллов моноклинной системы типа С, а на рис. 1.14,6 — для гексагональной решетки.
Из рис. 1.13 и 1.14, а, б видно, что примитивные векторы а, удобно выразить в прямоугольной системе х, у, z (с ортами е х, е 2, е 3), компоненты в которой равны aix, aiy, ai:. Для каждой решетки имеется набор из девяти таких компонент, образующих матрицу А размерности 3X3. Тогда (1.17)
1 Это описание можно найти в книге Ландау J1JJ. и Лифшица Е.М. Квантовая механика (нсрслятивистская теория). - М.: Наука, 1974, § 93.
26
а)
5)
в)
ячейки Браве
Рис. 1.13. Векторы примитивных трансляций о,, о,, а} и примитивные (кубическая и две ромбоэдрические) для трех кубических решеток:
ПК (о); ОЦК (кружками обозначены узлы в центре элементарного куба) (б); ГЦК (кружками обозначены узлы в центре граней элементарного куба (в).
а)
5)
Рис. 1.14. а) Векторы примитивных трансляций в,, а2, а, и примитивная ячейка моноклинной системы типа С. б) Описание кристалла гексагональной структуры координатной системой четырех осей о,. о,, о3 и с.
к
3 m
ш
Л
3 ГП
ш
-"1
Л
3 гп
ш
'г-
t--
*Е
I г-
а) Ь) а) 5)
Рис. 1.15. о) Обычная ось второго порядка 2: б) двойная винтовая ось 2,.
Рис. 1.16. а) Обычная плоскость отражения т; б)плоскость скользящего отражения о (по оси а).
примет вид
a i.v а 2 л а ъхN
a iv а2 у а3у
a\z аг-- ai: .
= Ат.
Для кубических и гексагональной решеток соответственно будем иметь
•пк
‘оцк
‘гцк
‘п ГУ
0\
О |, т.е. aj = aej. а I
а/2 а/2 \ а, = (а/2) (~е, + е2 + е3),
-а/2 а/2 J. а2 = (е/2) («>, - е2 + еъ).
а/2 -д/2/ д3 =(в/2)(е, +е2-е3),
д/2 д/2\ д, = (д/2) (е, + е2).
д2 = (д/2) (е2 +е3). д3 = (д/2) (е3 + е,),
д, = (д/2)е, + ( V?а/2)е2. д2 = ~(a/2)el +(>Jla/2)e2. а3 =се3.
Истинная микроскопическая симметрия кристаллов, в отличие от их макросимметрии, рассмотренной выше, определяется совокупностью элементов симметрии, образующих ее пространственную группу. В нее, кроме известных элементов точечной группы и операций трансляций, входят еще винтовые оси и плоскости скольжения.
Таблица 1.6, а
Обозначения некоторых важнейших элементов симметрии
Наименование элемен 1Т' Графические обозначения по IT
та симметрии вертикальные горизонтальные
Плоскость симметрии m
вертикальная
Плоскость симметрии /т 2
горизонтальная
Поворотные оси по
рядка : 1
1
2 2 ¦ - ---
3 3 ^
