Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Эта неоднозначность не опасна, если выполнено условие, что данный выбор позволяет определить положения всех узлов решетки. Векторы о,- удобно выбирать ортами системы координат, связанной с осями симметрии кристалла.
21
разований симметрии, образующих его точечную группу. Пример такой группы для квадрата был рассмотрен выше. Добавив к точечной группе трансляции и учитывая также комбинации трансляций (даже не на полные периоды) с поворотами и отражениями (винтовые оси, плоскости зеркального скольжения) мы приходим к понятию пространственной группы симметрии кристалла.
В кристаллографии есть теорема, устанавливающая возможные оси симметрии кристаллов на основе ограничений, накладываемых на точечную
группу требованием трансляционной инвариантности. Пусть точка А (рис. 1.8) — узел решетки Браве, через который перпендикулярно плоскости чертежа проходит ось симметрии. Если в точке В проходит такая же ось, то она удалена от А на период трансляции d. Если повернуть решетку вокруг оси, проходящей через А, на угол а = 2ir/n (где п — порядок оси; операцию вращения обозначим по Шенфлису через С„, а по международным обозначениям через п), то точка В перейдет вместе с проходящей через нее осью в точку В'. Подобная же операция поворота вокруг В переведет А с осью С„ в точку А'. Обе новые точки А' и В’ по условию симметрии могут быть совмещены путем операции трансляции вдоль прямой А'В'. Если d — минимальный период в данном направлении (по условию построения АВ параллельна А'В'), то расстояние А'В' будет кратно длине d, т.е. А'В' = kd, где к — целое число. Из рис. 1.8 имеем
d + 2d sin (а — я/2) = d — 2d cosa = kd,
откуда cosa = (1 - к) 12. По условию 0 < | cosa| < 1 мы имеем к = -1, О,
1, 2, 3. Отсюда и находим единственно возможные значения углов поворотов вокруг осей симметрии С„: 2rr/л = 60°, 90°, 120°, 180° и 360° = 0е, т.е. п = 6, 4, 3, 2, 1. Таким образом, допустимы только пять типов осей симметрии. В каждом узле может пересекаться ограниченное число поворотных осей. Рассмотрение, подобное приведенному выше1, дает шесть возможных комбинаций поворотных осей: 22 2, 22 3, 22 4, 22 6, 233и
2 3 4. Их возможное пространственное расположение изображено на рис. 1.9.
Трансляции и повороты называют собственными операциями симметрии. Существуют также еще несобственные операции симметрии: инверсия — зеркальное отражение в точке (центре инверсии Q или 1) ; отражение в плоскости (плоскость зеркального отражения т); инверсионный поворот — совокупность инверсии и вращения, которых может быть только пять с символами: 1, 2 (= т), 3, 4, 6. Если имеется ось симметрии п, то она может быть параллельна плоскости (вертикальная) или
A d В
Рис. 1.8. Определение возможных порядков осей симметрии кристаллов.
1 См., например, Флинт Е.Е. Начала кристаллографии. - М.: Гостехиздат, 1952. 22
перпендикулярна ей (горизонтальная). Их соответственно обозначают пт и п/т. Например, 4т означает ось четвертого порядка и проходящую через нее параллельную (вертикальную) плоскость симметрии т\ 6/т означает ось шестого порядка и перпендикулярную ей (горизонтальную) плоскость.
Методы кристаллографии позволяют определить полное число допустимых кристаллических решеток. Подсчет проводится в два этапа. Сначала выясняют возможные типы точечной симметрии. Они делятся на семь кристаллических систем или сингоний, а всего кристаллических классов или групп имеется 32 (Хессель, 1830). Список точечных групп кристалла приведен в табл. 1.4, где для каждой сингонии перечислены числа решеток Браве, их симметрия и основные характеристики ячеек. Расположение осей элементарной ячейки а, b и с и углов между ними а, 0 и у показано на рис. 1.10, сами же 14 типов решеток Браве показаны на рис. 1.11. Отметим, что элементарные ячейки Браве не всегда совпадают с однократно примитивной (Р), ибо часто ячейка, кратная примитивной, более непосредственно отражает элементы симметрии кристалла (см. ниже рис. 1.13 и рис. 1.14).
В табл. 1.4 для точечных групп использованы обозначения Шенфлиса и международные. Поясним их здесь (частично повторно): С; (5г) и 1 - операция инверсии относительно центра симметрии; С„ (п = 1, 2, 3, 4, 6 и I, 2, 3, 4, 6) - поворотная ось л-го порядка; Cnh (л = 2, 3, 4, 6), Cs -= С[/, и 2/т, 6, Л/т, 6/т, т - ось л-го порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии: Спи (л = 2, 3,4,6)итт2,3т,
4тт, бттоси л-го порядка и плоскости симметрии, проходящие через нее; S„ (п =
= 2, 4, 6) и 1, 4, 3 - зеркально-поворотная ось л-го порядка; D „ (п = 2, 3, 4, 6) (02 = V) -
Рис. 1.10. Кристаллические оси а. Ь. си углы между ними а, 0, у.
Таблица 1.4
Точечные группы кристаллических решеток
Кристалличес Число эле Кристаллические классы Число ре Характерис
Обозначе Междуна
ния Шен- родная
флиса система
1 с, 1 а Ф Ъ Ф с
Триклинная 2 C,-(SJ 1 1 а Ф р Ф у
