Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
I 0 -1 | .01,
01 ^ 1-1 О I ’ °2 I 1 О I ’
которые удовлетворяют всем соотношениям между элементами группы квадрата (см. табл. 1.1) и являются одним из возможных представлений этой группы. Таких представлений имеется бесконечное число. Важным 2. Зак.768 17
является регулярное представление. Его можно найти, если любой элемент табл. 1.1 заменить на единицу, а все остальные на нуль, и так .urn всех элементов. Это и даст соответствующие всем элементам матрицы регулярного представления. Хотя эти матрицы 8 X 8 и более высокого порядка, чем порядок 2 X 2 в (1.13), но они отнюдь не самые большие.
Среди бесконечного числа представлений имеется особый тип неприводимых представлений. Их матрицы для элементов группы имеют одинаковую блочно-диагональную форму. С помощью унитарного преобразования можно любые исходные приводимые матрицы привести к блочно-диагональной форме. В теории групп доказывается, что число различных неприводимых представлений конечно и равно числу классов группы г .
Элемент группы G можно рассматривать как унитарный оператор G, действующий на некоторые функции (/= 1
t
Gp,= I GkPpk, (1.14)
* = i
которые всегда можно выбрать ортонормированными. В этом случае унитарная матрица преобразования Gki совпадает с матрицей оператора
Л
Gki= JW GipkdT.
Функции ifii,..., \fp определяющие эти матрицы (совокупность которых для всех элементов группы дает ее представление), образуют базис представления, а число их. f = dk определяет размерность представления dk.
Если с помощью линейного унитарного преобразования .^перейти от базиса (pdk к новому базису ,. .., ^к, где tр\ = Sip,-, то этот
базис даст новое представление той же размерности: G/*. Такие представления называют эквивалентными, между ними нет существенного различия. Они связаны операторной формулой
Л Л Л Л
G' = S'lGS.
Рассмотрим произвольное представление группы размерности dk: с помощью линейного преобразования (1.14) функции базиса можно разбить на несколько наборов по dk (, dk г,.. . функций (dki +dk} + .. . = dk) таких, что при воздействии элементов группы функции каждого из этих наборов преобразуются только через функции одного этого же набора. При этих условиях исходное представление оказывается приводимым. Если не существует ни одного линейного преобразования, которое могло бы уменьшить число преобразующихся друг через друга функций, то осуществляемое ими представление — неприводимое. Итак, всякое приводимое представление можно разбить на неприводимые, имеющие важное значение во всех физических приложениях теории групп.
Особое значение имеет след (шпур) матриц представлений, т.е. сумма их диагональных элементов, называемая характером. Все матрицы, представляющие элементы данного класса, имеют одинаковые характеры (см., например, (1.13)). Также совпадают характеры матриц эквивалентных представлений. Поэтому по характерам отличают эквивалентные представления от существенно различных. Введем обозначения
18
характеров элементов /-го класса неприводимого представления к:
X/'
х,°\ х,ш..........хГ.
Единичный элемент группы Е всегда представляется единичной матрицей, характер которой х(Е) равен размерности представления d*.
Если надо найти неприводимые представления, то необязательно находить соответствующие блочные матрицы. Для этого надо знать некоторые общие соотношения ортогональности между характерами неприводимых представлений, выводимые в теории групп и имеющие вид
М/ X* X/ = dk I cijshs Xs,
S ~ 1
2 Mx?)’xi = g&ki,
S= 1
(1.15)
(1.16)
где g — число элементов группы — ее порядок, все остальные символы приводились выше. В качестве примера найдем таблицу характеров группы квадрата. Для этого используем (1.15), подставляя туда известные порядки классов И/ и коэффициенты сцш1 из (1.12). Используя Ci i,i, находим х * X1 = dk xf или х f = dk; используя с2 2>1, находим XjXj=^itX* = = dl илих* = ±</*; используя с33>1 и с35>2, находим 4х^Хз = ^*(2х* + 2х*) или Хз = tdk, если х* =dk и Хз = 0, если х* = -dk, используя с44>, ис44>2, находим тем же путем х$ = ±dk, если х* =dk и х* = 0,если х* = -dk\ и,наконец, используяс34>5, находим 4х$х* = ^ - 4xf,Xs = X*X*ldk.
В итоге получаем таблицу характеров для пяти классов и пяти неприводимых представлений группы квадрата (см. табл. 1.2). Таким образом, характеры найдены через размерности неприводимых представлений. Далее, используя вещественность характеров, из (1.16) имеем для группы квадрата (g = 8)
Z MX?)J= 8.
S= 1
Таблица 1.2
tf
Таблица характеров х,- для пяти классов С/
С, сг c, c. C,
х1 dk dk dk dk dk
х1 dk dk dk -dk ~dk
х1 dk dk -dk dk ~dk
X* dk dk ~dk -dk dk
х5 dk ~dk 0 0 0
1 В таблице указаны пять неприводимых представлений группы квадрата в зависимости от размерности dk этих представлений.
