Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.5. Операции симметрии квадрата: плоскость (х, >') - линии отражения ах. о у; а,. а, (а); пространство (х, у, г) - оси вращения Cqz, Cqz, C2z (^) ¦
р(г) остается инвариантной. Совокупность всех преобразований симметрии данного типа кристалла образует его группу симметрии. Найдем группу симметрии простейшей модели кристалла в виде плоского квадрата ABCD с центром в точке О (рис. 1.5, а, б). Его группа симметрии содержит восемь преобразований, переводящих квадрат сам в себя: Е — тождественное преобразование; СХ2 — вращение против часовой стрелки на угол +90° вокруг оси г, проходящей через центр О и перпендикулярной плоскости квадрата; С+2 — вращение по часовой стрелке на угол —90° вокруг той же оси z: C2z — вращение на угол 180° вокруг оси г; ах -зеркальное отражение в линии, проходящей в плоскости квадрата через его центр О нормально к оси *jc; ау — зеркальное отражение в линии, проходящей в плоскости через центр О нормально к оси у; а, — зеркальное отражение в диагонали АС квадрата; а2 — зеркальное отражение в диагонали BD квадрата.
Произведение (i.e. последовательное применение) любых двух элементов группы также является ее элементом. Это иллюстрируется правилами умножения табл. 1.1. Операторы симметрии могут не коммутировать друг с другом, например
C(zffj = 0-1 Ф Ох Cqz = Oi
(см. табл. 1.1) . Если в группе все элементы коммутируют, то ее называют абелевой. Каждому элементу а группы можно сопоставить обратный элемент а"1, обладающий свойствами: аоГ1 =аГ1а=Л’; т.е. он производит действие, уничтожающее эффект элемента а. В группе квадрата это С%г и Clz и т.п. Элементы а и 0 группы принадлежат одному классу, если в группе есть элемент у такой, что уау~1 = 0. Элементы а и 0 при этом называются сопряженными, и поэтому говорят о классе сопряженных элементов. Тождественное преобразование всегда образует отдельный
15
Таблица 1.1
Произведения операций симметрии группы квадрата1
Е си Сц Ciz Ох Оу о, °г
CU с,2 C<z Е Оу °х
С2 2 с;2 Е си Оу ох
Ciz Е С*, С12 О, °х Оу
^4 -
°х Оу о, Е с,г с<2 си.
°У °Х С г г Е CU С41
°х Оу си C-,z Е с,.
Оу °х Ciz CU С г1 Е
1 Символ симметрии в каждой клетке равен произведению операций, символы которых стоят первыми в строке и в столбце, пересечение которых происходит в данной клетке.
класс. Группа квадрата разбивается на пять классов С,*(/ = 1,, .., 5):
Я(С|); С22(С2); с;2, С;2(С3),
@Х> Оу(С4)' ^1 ' ^2(^5)-
Число элементов в классе С\, обозначаемое через Л,-, называют порядком класса. Для пяти классов (r= 5) группы квадрата имеем h, = h2 = 1 и Л3 =Л4 =Л5 =2. Определим еще коэффициенты произведения классов: Cjj s — это 5-й коэффициент произведения С, С j классов / и /, т.е. из табл. 1.1 имеем, например,
QC, = lcijsCs, (1.12)
S
или символически: Сз С4=2С5 и С5 ¦ С5 = 2Ct + 2С2. В итоге получаем следующие отличные от нуля коэффициенты:
Ci 1 ,i = 1 С2 2 ,1 = 1 СЗЗ,1 ~ 2 С44,1 = 2 Css ,1 _2
Cl 2 ,1 = 1 С2 3,3 = 1 с3 3 ,2 = 2 с4 4 ,2 = 2 Cs s ,2 = 2
Cl 3 ,3 = 1 С2 4,4 = 1 C34.S = 2 с4 S ,2 = 2
Cl 4,4 = 1 С2 5 ,5 = 1 Сз5 ,4 = 2
С\ s ,s -
С,
°г
с, Е Сц
°1 С12 Е
С.
°х Оу
С, си
Си °1
16
‘tmm
Рис. 1.6. Изображение двумерной точечной группы квадрата.
Рис. 1.7. Влияние операций симметрии группы квадрата на положение точки (вектора) Р(х. у).
В международной системе обозначений рассмотренная группа квадрата обозначается как 4тт. Первый индекс означает ось четвертого порядка, перпендикулярную квадрату, второй и третий индексы т — операции отражения относительно прямых линий двух типов, связанных между собой операцией симметрии (здесь это ох, ау и ах, о2). Графическое изображение осей и плоскостей (линий) отражения различной симметрии показаны ниже в табл. 1.6. На рис. 1.6 изображена точечная группа квадрата.
В приложениях теории групп важную роль играет представление операторов группы матрицами. Проиллюстрируем это на примере квадрата. Пусть на его поверхности лежит вектор Р (рис. 1.7), выходящий из центра
О с координатами конца х и у. При преобразовании, например, С4, вектор Р перейдет в Р'и координаты его конца jc' и у' связаны с х и у уравнениями
х' = 0 ¦ х - 1 у, у'=\-х + 0-у или символически
Р'(х'у')= | ° _’|Р(дс,у),
где матрица | ^ q| представляет элемент С4г. Легко построить матрицы для всех преобразований группы квадрата:
I 1 0 I 10 -1 I ! 0 1 I
Ь " 1о 1 I' I 1 о I ’ 4z ""*1—1 ОI ’
'7 г
-1 ОI I —1 ОI I 1 ОI /'i 1
О _il. о il- °^lo -il’ (Ш)
