Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
f dr ехр (//г) = (2эт)3 5(/), (5.236)
после несложных преобразований, находим е(г, r';u>) = f(2n)~3dq е(д, со) exp [iq(r - #•')],
e(q, со) = 1 - e2-n~2q~2 f dk[n(k +q)- я(Л)] l[E(k + q) - E{k) + h(co + /т?)]
(5.24)
(мыучли, что (v \ V\ v) = Ь00' (к \-V \ к'),
E^fdkdk' Е boa' = 2 5dkdk'\
vv' оо'
множитель 2 появляется из-за суммирования по спину). Выражение (5.24)
280
иногда называют формулой Линдхарда. Используя значение п (к) при Г=0К (см. (3.37)):
--- f 1, |*|<*ф>
и(*)= (5.25)
[О, | jfc | > А:Ф ,
подставляя Е(к) = Ь2 к212т и выполняя интегрирование, получим e(q, со) = 1 - 2те2л~1 h~2q~3 [- qk9 + 1/2(кф + (тсo/hq - qj 2)2)Х X In [(со + /г? - hq2 /2т + Ъдкф /т)/(ш + /г? - hq212т - hqkф/m)] -
со + /г? + hq212т + hqk<t>/m ¦
г со + it] +1
- 1/2(Агф - (тш/hq + q/2)2) In ---------------------------------
L со + т +1
, • (5.26)
h) + hq2 /2т - hqкф/т .
Отметим, что множитель ехр (rjt) оказался существенным — его отсутствие привело бы к появлению расходящихся интегралов. При этом, правда, возникает несколько неожиданный эффект — появление мнимой части у e(q, со) при
со <hm_I {^кф + — q2 ^ (5.27)
согласно формуле
1п(дс ±/т?) = In |дс | ±/гг0(-дс), (5.28)
где 0(*)=1, х>0, 0(х) = О, х<0. Здесь везде имеется в виду главная ветвь логарифма. Появление Im e(q, со) отражает очень важное физическое явление - затухание Ландау, которое будет подробно рассмотрено в 5.1.4.
5.1.3. Статическое экранирование
Рассмотрим сначала отклик электронной системы на статический потенциал. При со = 0 получаем из (5.26)
„и 1 / 1
I 2те кф \ ( 1 - 1 +| \
е(?.0)=1+ -----—^ 1 + —In -1 ,
\ rrhV А 2? 1-?
(5.29)
| = ^/2Агф;
мнимые части логарифмов при этом в (5.26) сокращаются. При q < кф на-
ходим
e(q,0)* 1 + 1/XV, (5.30)
где
\ = (пЬ2/4те2кФУ'2. (5.31)
Если U(q) — потенциал точечного заряда Ze, то
U(q) = 4*Ze2/q2, (5.32)
V(q) = 4-nZe2/q2e(q, 0)^ 4uZe2/q2 + X~2 (5.33)
при q < кф. Обращение преобразования Фурье в (5.33) дает
V(r) = (Ze2/г) ехр(— г/Х). (5.34)
281
Следовательно, X имеет смысл радиуса экранирования. Если бы в (</, 0) была ’’хорошей” функцией, то поведение V(r) при г определялось бы фурье-обраэом V(q) при q ~+0, т.е. формулой (5.34). В случае классической статистики для электронов так оно и есть (с другим выражением для X, которое будет найдено ниже). Для статистики Ферми, однако, как видно из (5.29), в (q, 0) имеет при q = 2кф особенность вида
e(q, 0) ~ const(q - 2кф) In | q - 2кф |. (5.35)
Можно показать ', что зто приводит к появлению у V(г) осциллирующей части:
V(r) я» const • r~3 cos(2кфг) (г -*¦ °°), (5.36)
что согласуется (по крайней мере, качественно) с рассмотрением фриде-левских осцилляций в 4.7.3. Еще раз подчеркнем, что существование медленно спадающего осциллирующего ’’хвоста” экранированного потенциала связано с особенностями (5.35) в е (?, 0), а оно, в свою очередь, — с существованием поверхности Ферми. Столкновения или конечная температура, размывая эту поверхность, приводят к затуханию ’’хвоста”, но на длине, много большей, чем X.
Для прояснения физического смысла уравнения (5.34), описывающего плавную часть V (г), выведем его другим способом. Если считать, что V (г) медленно меняется в пространстве, электронную плотность в точке г можно найти по формуле
N(r) = /deg(e) [ехр(е — ? + V{r)lk^T) + l]"1 = /V(f- K(r)), (5.37)
где приняты обозначения гл. 3. Если V (г) мал, что, безусловно, справедливо для больших расстояний, то для изменения плотности в точке г по сравнению с невозмущенным случаем получаем bN
bN(r)*- — V(r). (5.38)
Тогда самосогласованный потенциал V (г) может быть найден из уравнения Пуассона
Д V = — 4 tic2 bN. (5.39)
Учитывая, что для сферически-симметричных функций
