Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
286
Таблица 5.1
Экспериментальные значения энергий плазмонов для различных металлов'
Элемент А1 Be Mg Si Ge Sb Na
Лыр.эВ 15,0 18,9 10,5 16,9 16,0 15,3 5,7
1 Из обзора: Raether Н. Springer Tracts in Modern Physics. - Springer - Verlag, 1965, v. 38, p. 84.
носителей Nc, под m - эффективную массу m*, a e2 заменить на e2/e0, где e0 - статическая диэлектрическая проницаемость (ср. 4.4.1). Таким образом, в полупроводниках существует еще и низкочастотный плазмон с частотой
сOp = (4nNce2/m*e0)1^ (5.61)
проявляющийся, например, в оптических свойствах.
5.1.5 Фононы в плазменной модели
Перейдем теперь к краткому рассмотрению решеточных свойств плазменной модели. Ионы заменялись компенсирующим фоном положительного заряда с плотностью NIZ (где ZI е\ - заряд нона). Казалось бы, они должны колебаться с частотой
uipi = (4nN (Zef jMZ't /2= (AnNZe1 /М)112 (5.62)
(M - масса нона), н, следовательно, такая модель не дает возможности описать акустический характер спектра. Здесь, однако, решающую роль нграет экранирование. Для ионов можно пренебречь пространственной дисперсией при
lj > qv-p , (5.63)
где vy = (ik^T/M)1^2 - тепловая скорость движения ионов (для ннх принимаем классическую статистику). При этом нонный вклад в диэлектрическую проницаемость равен -Ljpjltj2. Еслн, однако, одновременно с этим
ш < ?иф. (5.64)
то для электронного вклада необходимо брать статический предел. Неравенства (5.63) и (5.64) совместны в силу того, что иф > uj. Таким образом, движение ионов экранируется электронами как статическое (в этом, собственно, н состоит адиабатическое приближение, о котором неоднократно говорилось выше). Полная диэлектрическая проницаемость примет вид
еполн fa» и>) = € 0) — u)p|/u>2, (5.65)
н уравнение (5.47) дает
<*>2 = tJp,-/e (<?, 0). (5.66)
При q < кф для с (4, 0) используем формулу (5.30) и получаем
ш2 =sV, s = Au;p, = (Zm/3W1/2u0, (5.67)
где мы подставили в (5.30) формулы (5.31), (5.62) и равенствоN = к^/3-пг. Формула (5.67) (Д. Бом, Т. Стэйвер, 1950) дает оценку скорости звука в металлах, находящуюся в разумном согласии с опытом. Плазменная модель нечувствительна к различию между твердыми н жидкими металлами н потому не может опнеать сдвиговые волны, характерные именно для твердых тел. Тем не менее она прекрасно иллюстрирует физику формирования фононного спектра металлов и проясняет смысл аднабатн-
287
ческого приближения. Согласно (5.66) и (5.35), фононный спектр должен иметь слабую особенность при q = 2кф (коновская аномалия, открытая В. Коном). Предполагается, что измеряя дисперсию коротковолновых фононов в разных кристаллографических направлениях, можно восстановить вид поверхности Ферми. К сожалению, эти аномалии выражены достаточно слабо, поэтому и сам метод не может конкурировать с другими, прежде всего магнитными.
5.1.6. Флуктуационно-диссипационная теорема
В заключении этого параграфа исследуем некоторые общие свойства функции е (q, cj). Для этого рассмотрим строго задачу об отклике многоэлектронной системы на слабое внешнее воздействие. Внесем в систему пробный заряд, описываемый плотностью
eNmeui (г> О = evq ехР [' (Яг - cjf) + Ч* ]. (5.68)
тогда гамильтониан взаимодействия системы электронов с пробным зарядом будет иметь вид
У = е2 j drdr’N(г)Nmeiu(г')/1г - г' I = 4i,e2 q'2 N_qvq ехр [i {qr-cjt) + т)Г], (5.69)
Л
где Nq - фурье-образ оператора плотности электронов. Фурье-преобразование выполняется с учетом (5.22), (5.6), (5.68). Найдем изменение матрицы плотности всей электронной системы р' под действием возмущения Р в наинизшем порядке. Его можно получить из (5.16), заменяя I и > —>• 1 л>, где 1л> - собственные состояния многоэлектронной системы. При этом
wn=Z-'exp(.-En/!:BD (5.70)
— функция распределения Гиббса, или собственное состояние полной невозмушен-ной матрицы плотности, Z - статистическая сумма. Итак,
Рпт ~ (*„ — wm) Vпт/[Еп — Ет — h (cj + f rj)] -
= 4ite,(f1vq (wn - wm) W-q)aml[En - Em - h (cj + 117)]. (5.71)
Л
Для изменения среднего значения (Nq> под действием возмущения получаем
(Nq)= ? (Nq)mnp'nm = 4пe2q~2vg ? (wn - wm) I (NQ)mn lJ l[En - Em - h (<*» +117)], mn 4 /nr 1
(5.72)