Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из (4.377) следует, что (4.378 а) может быть при (J < 0, а (4.378 6) - при U > 0. Далее рассмотрим для определенности случай U < 0. Обозначим
Е = min (1(к) - д (4.379)
(Д > 0) и запишем (4.377) в виде
1 = (IС/1/Л0 2 1/(Д + «*)| = \U\F(&), (4.380)
к
где 0(к) = 0(к) - min 0(к). Предположим без ограничения общности, что минимум 13 (к), достигается в точке к = 0 (в крайнем случае сместим границы ячейки в обратном пространстве; случай нескольких равных минимумов также не доставляет затруднений). При малых*
h2 /к2 к1 \
0(к)=- + .. . + Id , (4.381)
2 \т, md)
где d - размерность пространства (d = 1, 2, 3), т,- - собственное значение тензора обратных эффективных масс (все т/ > 0). Нетрудно видеть, что в одно- и двумерном случаях
^(0) = ^-’ 2 ?-'(*)= У0 fdk(2n) dp '(k), (4.382)
к
где V0 — объем элементарной ячейки. Выражение (4.382) расходится при малых к (логарифмически при d = 2 и степенным образом лри d - 1). Так как F (А) убывает с ростом Д, a F(0) = °», уравнение (4.380) имеет в этом случае решение при любых I UI . Такие состояния называют локал изо ванным и. Чтобы понять смысл этого названия, вычислим выражение
ат= N~' I, a(k)exp(ikRm)= ? expiikR, „)ЦЕ - 0(*)|, (4,383)
k N к
269
где учтены (4.372) и (4.376). При Д>0 величина Е - (3(к) нигде не обращается и нуль, следовательно, по известным свойствам преобразования Фурье, а„, убывает при | Rm | -> “ быстрее любой степени | Rm \ ~1 (для реальных 13(к) - экспоненциально) 1. Следовательно, в локализованных состояниях вероятность обнаружить электрон быстро спадает с удалением от примеси.
В одномерном и двумерном случаях локализованные состояния возникают всегда, а в трехмерном при достаточно больших | U\ , т.е. при
I t/ I > I //-1 S (?(*))-¦ Г1, (4.384)
к
как это следует из (4.380) и из убывания F(a) с ростом Д.
Локализованные состояния с Е < min 0(к) соответствуют в нашей модели донор-ным, а с Е> max (S(k) - акцепторным уровням в теории полупроводников.
4.7.2. Резольвента и плотность состояний
Рассмотрим теперь общую постановку задачи. Пусть у нас гамильтониан имеет вид W = Jf0 + P, (4.385)
Л Л
где Н0 - гамильтониан идеального кристалла, V - возмущение. В однозонном приближении (сильная связь) V задается матричными элементами Уп,,„ где т, п - номера узлов. Так, в 4.7.1 принято
Vmn ~ и^тО^пО- (4.386)
Л
Мы хотим определить спектр гамильтониана К, точнее - плотность состояний
g(E)=L &(E-El/) = Sp&(?- К), (4.387)
v
Л Л
где Ev - собственные значения гамильтониана К. Оператор 6 (Е - К) связан с операторами
Л*(?Э = (?• - JC ± /г,)"1 1т, —+о (4.388)
тождеством Сохоцкого 1
х * 1г)
= * /Яб(л:), (4.389)
rj-* +0 х
которое следует понимать следующим образом: для любой ’’достаточно хорошей” функции <р(х)
f <р(х) (х ±iri)-,dxlTI-n.0=fxv(x) (хг + rj1 )-1 dx т
т iv S <р(х) (х2 + rj1)'1 dx = 5й f'<p(x) x~l dx * in<p(0), (4.390)
где SP — символ главного значения и использовано одно из представлений 6-функции
6(jc) = lim rt/n(x2 + rj1). (4.391)
rj->+0
Л ^
Операторы R (E) нззывзютсярезольвентами, или функциями Грина Плотность состоя-
Л ?
ний выражается через R (Е):
*(?)= 2 6 (?-?„) = * - 1тБ(?-?„ tin)’1 = т (1/я) Im Sp /?*(?¦). (4.392)
V пи
Предположим, *гго нам известна невозмущенная резольвента:
R; (Е) = (Е-Н0± /п)-1. (4.393)
1 Сформулированное утверждение при d - 1 составляет содержание леммы Римана -
Лебега. См., например, Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977, гл. 3, § 1. Обобщение на многомерный случай, по крайней мере, на ’’физическом” уровне строгости, достаточно тривиально.
270
Для ее построения необходимо и достаточно знания собственных функций и собственных значений гамильтониана Н0.
Из (4.388), (4.393) и (4.385) получаем
(R'-iE))-' = (Ло(?¦))"1 - К=(Ло±(?0)-‘ (1 -Ло(?-)К). (4.394)
Обращая (4.394), найдем
