Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
где мы учли, что (N_q)nm = (Nq)*mn. Диэлектрическая проницаемость есть отношение плотности внешних зарядов vq к полной плотности зарядов vq + (Nq). Так как
Л
div = 4nev, div/Г = 4ire(v +<JV>), для возмущения вида (5.68) Dq = -4itiqevq/q2, Eq = -4-niqe (vq + (Nq)) jq2, то это определение совпадает с обычным Dq = е (q, cj) Eq. Из (5.72) получаем 1/е (q, cj) = 1 + (Nq)fvq =
= l+4rr e2q'2 Ъ (wn - w m)\(Nq)mn\2/[En- Em - b (u> + i-r\)\. (5.73)
mn
Формула (5.73) формально точная. Она мало полезна в конкретных вычислениях, так как требует знания точных собственных функций и энергий многоэлектронной системы. Вместе с тем из нее можно получить важные общие соотношения. Вычислим Im [1/е (q, cj)] :
lm [1/е (q, cj)] = 4n2e2q-2 X (w„ - wm) I (AU)m„lJ X mn
X В (En - Em - hej) = -4n2e2 (Zq2T‘ Z exp (-Em/kBT) X
rftn
X [ 1 - exp (.-(En ~ Em)/kBT)] I СNq)mn I3 6 (En - Em - ficj) =
= -4n2e2 (Zq2yi [ 1 - exp (-hcj/feg Л] X
X X exp (-EjkBT) I (JVe)m(;iJe (En -Em- hej). (5.74)
mn л
288
Выражение в правой части (5.74) может быть связано с коррелятором плотности, введенным в 2.7.1:
s {q-= JL dteibJt n-q (0)> =
- / dte L wm (Лл)тл ехР 1 (^т “ ^п) * I W-q^nm
- °° тп
= 2nh х. Wm I сNQ)mn l’6 (Еп -Ет- hcj), (5.75)
тп
S (q, cj) = -hq1 (2ne1X1 [1 - exp (-hcj/fcBD]"*Iin (1/e (q, cj)). (5.76)
Равенство (5.76) выражает содержание так называемой флуктуационно-диссипацион-ной теоремы (в общем виде она была получена Кэлленом и У Элтоном, 1951). Сейчас мы можем выразить через диэлектрическую проницаемость вероятность рассеяния быстрых электронов. Подставив в формулу (2.138) Uq = 4пе2Iq1, а также (5.76), получим
R = (4jre1/h<71)1 S (q, cj) = -%-пе1/hq1 х [1 - ехр (-ficjAgЛ]-1 Im[ 1/е (q, cj)] , cj = [E(k)-E(k+q)\ ГГ1. (5.77)
В отсутствие затухания надо записать е (q, cj) -> е (q, cj) + 16, 6 -» +0,
Im[ 1/e (q, cj)1 = -n& (e (q, cj)). (5.78)
Подставляя (5.78) в (5.77), найдем
R = Sn1 e1 (hq1 X1 (пш + 1) 6 (e (q, cj)) , (5.79)
где
5Z,= [exp (ftcj/kBD - I]'1 (5.80)
- планковская функция распределения. Появление 6-функции (5.79) показывает, что рассеяние идет с рождением плазмона с выполнением закона (5.58); появление характерного множителя + 1 (такого же, как для фононов) означает, что плазмоны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Впрочем, так как обычно hcjр~ ~ 10 эВ, можно всегда считать 0.
Существует очень важная связь между диэлектрической проницаемостью и свободной энергией многоэлектронной системы. Гамильтониан межзлектронного взаимодействия можно записать в виде
MB3=l/2z'e2l\ri-ri\ = 2*e1q-1 Z NaN_a = ti q*О 4 4
S 2ne1q-1Z(NaN„a - Ы) (5.81)
q 4 4
Л А а д
использовано соотношение NqN_q = N~lZ exp[«j (г,- - rf)]q-^Q -» Л0. Свободная энергия равна
F= -kBT]nZ = -кБГ1л Sp exp [ —(3?0 + К„зУ*бП. (5-82)
A.
где 7f0 - гамильтониан невзаимодействующих электронов. Заменим в (5.81) е1 -*• ->\?2 и вычислим 3F(X)/3X:
BF _ кБТ ЭZ(\)
ЭХ Z(\) ЭХ
= FW SP*" 6ХР [ -\ГВЗ] = <5?-з>Х, (5.83)
где ( >х - усреднение по ансамблю Гиббса с заменой е1 -»Хе1. Подставим (5.81)
(5.83) с учетом того, что
iNqN-q) = +/° (27Г)"‘s ы) (5.84)
(нужно обратить преобразование Фурье (5.75) и положить t = 0). В свою очередь, 19.3ак. 768 289
S (q, cj) выражается через Im [1/e (Q, cj) ] hej \'
ЭF Г I ticj \"| 1 _[+“ dcj
-------- -h 1 - exp----------------------1 X E f ------------------- Im
3\ [ *\ къТ). <7L о 2я
согласно (5.76). В результате находим
(5.85)
1 IvNe1'
и) . h^2
где при вычислении e\(q, cj) необходимо заменить е1 -* \ег. При \ = 0 величина F известна (невзаимодействующие электроны). Вычисляя в каком-то приближении (например, хаотических фаз) диэлектрическую проницаемость и интегрируя (5.85) по \ от 0 до 1, находим свободную энергию многоэлектронной системы, а следовательно, и все ее термодинамические свойства.
§ 5.2. Теория ферми-жидкости1
5.2.1. Основные положения теории Ландау
Как видно из §5.1, приближение хаотических фаз достаточно полно описывает электронную систему металла в пределе высокой плотности:
