Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
fvv' = 5е„/5脦 = 52 &/5nv5nv’.
(5.90)
Из (5.90) следует, что fvv’ = В простейшем случае газа свободных
291
электронов v - это импульс и проекция спина а= t, I. Функцию Пра можно рассматривать как собственные значения матрицы плотности в спиновом пространстве паа(р). Тогда получаем
6? = 2 еаа {р)Ьпа а(р) +
Р
+ Т2 ,/a1aJ;a;a'J(P.p')5«a'ja;(p’)5Majai(p) +. . (5.91)
1 рр
где подразумевается суммирование по двойным спиновым индексам. В изотропном случае самый общий вид матрицы/ таков:
/<jj aj; a', aj (P* P ) ~ 'P (P>P ) , a 2 ^ojo2 Ф (P< P ) ao1o2 °a\ oj
или, сокрвщенно,
/(р^р) = ^(р,р')+ф(р,р')0а, (5.92)
Л
где а — матрицы Паули; *р называется функцией прямого, а ф - обменного взаимодействия. Последнее является следствием принципа Паули; его генезис (зависимость энергии от спина) пояснялся в 4.5.1 в связи с методом Харти - Фока — Слэтера. Из приведенных там рассуждений следует энергетическая выгодность параллельной ориентации электронных спинов (это ослабляет кулоновское отталкивание), т.е. обычно
Ф(р.р')< 0. (5.93)
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к появлению членов типа ра в (5.92). Оно, однако, гораздо слабее обменного (в (иф/с)2 раз), и им можно пренебречь.
Равновесная функция распределения может быть выведена на основе только комбинаторных соображений, связанных с принципом Паули. Записывается выражение для энтропии S [и„] и используется принцип минимума термодинамического потенциала
5
-г- (? - TS + ?Л0 = 0, (5.94)
bnv
причем вид bSjbnv вообще не зависит от взаимодействия (нужно просто вычислить статистический вес данного состояния), а роль энергии квазичастицы как раз играет 5?/5«v, т.е. величина (5.89). Поэтому можно записать для равновесной функции распределения:
ni0)= [ехр dev - $)/кБТ) + I]'1, (5.95)
где, однако, е„ - функционал от
Рассмотрим далее изотропный случай. При этом рф в силу теоремы Ландау - Латинжера (или просто в силу взаимно-однозначного соответствия частиц и квазичастиц) определяется обычной формулой (3.33). Вблизи р = рф энергия, отсчитанная от J 0. записывается в виде
Рф
е(р)-?о =и(1р1-рФ) = —- (\р \-рФ), (5.96)
m
где v имеет смысл скорости квазичастиц на поверхности Ферми, m* —
292
по определению, эффективная масса:
т = р ф
Эе
др
-1
(5.97)
I Р\=РФ
Это определение т* несколько отличается от данных ранее. Очевидно, что именно так определенная эффективная масса входит в плотность состояний на уровне Ферми:
g (Го) =2 К0 (2тгЬ)-3 jvldS = m'p<bVJ*2h\ (5.98)
где dS — элемент площади поверхности Ферми, К0 — объем элементарной ячейки. Нам важны лишь значения I р\ = рф. В изотропном случае f(P. Р ) h р\ = 1р' 1 = рф зависит только от угла # между векторами р и р . Она может разлагаться по полиномам Лежандра Pt (cos i?), образующим полную систему функций от д. Обычно вводят безразмерные постоянные А/, В[ по формулам
g (So)*(P,P) = 2 (2/+ \)А,Р, (cos i?),
'-° (5.99)
g (Ы Ф(Р,Р) = 2 (2/+ 1) В,Р, (cos 0).
1=0
5.2.2. Термодинамические свойства
Так как функция распределения определяется по (5.95), термодинамические свойства ферми-жидкости выводятся почти как в случае ферми-газа. Единственное различие состоит в том, что спектр е(, сам является функционалом nv и, следовательно, зависит от Т, f, внешнего магнитного поля, что и должно учитываться при вычислении производных термо-
динамического потенциала.
Теплоемкость равна
(ЪБ \
с» = Т — (5.100)
Но энтропия S — функционал1 от nv. Тогда с учетом (5.94) и (5.89) находим
8S дп„ 8 (? - J7V) dnv
Cv = ТЪ — —- = 2 —----— —- =
v 8п„ дТ v 8nv дТ
Э п„ дп
= 2 (е„ - f) — = / deg (е) (е - f) — . (5.101)
v о! дТ
Вычисляем далее дп/дТ:
дп дп д t е - f \ 1 дп
дТ Эе кпдТ
(€ — ?\ 1 Эи [¦ е — f д г ^1
\ Т ) ~ кБТ Эе ~Т ЭТ (е“ f)J
(5.102)
1 Его явный вид см., например, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. -
