Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим систему электронов, описываемую в одночастичном приближении собственными функциями Фи (г) и собственными значениями Е„ (для твердых тел I v) = | ?ко>, где f — номер зоны, к - волновой вектор, а — проекция спина). Введем одночастичную матрицу плотности
р = 2 wv | ЖИ; (5.7)
V
эта запись означает, что для любой функции iр(г) р\у) = 2 w„ = 2 wv\pv(r) f dr'\p*(r') v(r').
V V
Здесь w„ — вероятность нахождения электрона в v-м состоянии; в равновесии wv = п (Ev) совпадает с распределением Ферми — Дирака. Тогда для
А
любого одночастичного оператора А его среднее равно'
С4> = 2 w„ {v \А\v) = Sp(/4p).
1 Такой подход был предложен для классической плазмы Власовым А.А. (1938). Подход Бома — Пайнса, основанный, казалось бы, на совсем других идеях н называемый приближением хаотических фаз, строго эквивалентен квантовому обобщению метода Власова.
278
В частности, для оператора электронной плотности
N(r) = 5(r-r) (5.9)
получаем
Nvv- = 1<1г'ф Hr') 5 (г - г') фАг) = Ф1(г) ФАг)
и
N(r) = <N(r))= I Nvv' pv'v= I р^ф'Лг)ф^(г). (5.10)
vv vv
Матрица плотности изменяется со временем по уравнению
ihp = [Н, р|_, (5.11)
которое можно получить из уравнения Шредингера и комплексно сопряженного к нему
Э I v) Л л Э
;h ----- = H\v), {v\H= —ih(v\ — . (5.12)
dt dt
Здесь использована обычная дираковская символика записи. Из (5.7) и (5.12) находим
Эр г/ 9|t>) \ / Э\
/Ti — = Sw„ (/h-------- <И )+ И( | — )
3/ » 3/ / \ dt )
= ? w„(H\v) (v\ — \v)(v\H) = [H, p]_.
V
Л
Для невозмущенной задачи с гамильтонианом Н0 матрица плотности коммутирует
H0\v) = E„\v), [Н0, Ро ]_ = 0. (5.13)
Нас интересует отклик системы на возмущение V(r) ехр(~ iwt + T7/)i „ _> +0>
множитель exp(rjt) введен для описания медленного включения потенциала; в случае переходов в непрерывном спектре учет этого множителя необходим, чтобы избежать расходимостей1. Представив р в виде р0 + р', где р'~ V, и пренебрегая малым коммутатором [р', V]_ ~ V2, найдем из (5.11) с учетом (5.13)
А Л'
ih = [Я0,р']_ + [К, Ро]_ exp(-/wA+ 7JA). (5.14)
dt
Из (5.14) следует, что р ~ехр(— /tot + rjt). Вычисляем матричные элементы: <И [Ho,p\_\v') = {Eu - Ev-)pvv-,
(v\[V,p0\_\v') = K?V) - ^)] Vvv-, (5.15)
{v
dp /h — dt
t^'> = h (со + in) p’vv'-
1 См., например, Ландау ЛЛ., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, § 43.
279
Подставляя (5.15) в (5.14), найдем
Рии = (ЙГ - п~и') VVV'I{.EU - Ev' - h(w + /г?)) (5.16)
(nv=n (Ev)). Согласно (5.10), изменение электронной плотности, индуцированное потенциалом V,
8N(r) = Е ф^{г) фи(г)рии' =
vv'
= Е [{jTv - n~v')l(Ev h(w +17?))] Ф1'(г) фи(г) X
VV'
X J dr'ф1(г')У(г')ф„¦(?'). (5.17)
И, наконец, запишем условие самосогласования. Потенциал V складывается из внешнего потенциала U и потенциала, индуцируемого изменением плотности 5 N(r):
V(r) = U(г) + е2 J dr"8N(r")l | г - т" \. (5.18)
Подставляя (5.18) в (5.17), найдем
U(r) = fdr'e(r,r'\co) V(r'), (5.19)
е(г, г'; со) = 5 (г - г') - е1 Е [(/^ - п^>)/(?„ - Е„’ - h(co + /т?))] X
VV
х ф•Лr')фv^(r')fdr"фt¦(.r")фv(r")l\r-r"\. (5.20)
Решая интегральное уравнение (5.19), найдем индуцированный потенциал V (г) по заданному внешнему возмущению U(r). Уравнение
$dr'e(r, т \ со) V(r) = 0 (5.21)
определяет спектр собственных плазменных колебаний (V Ф0) в отсутствие внешнего воздействия. Далее мы ограничимся моделью газа свободных электронов. При этом
Фи(.г) = (2тг)~3!2 eikr (5.22)
(здесь использована нормировка на 5-функцию, E-*f dk). Учитывая, что
V
r,„ ехр Ofr") ехр07/)4тг ч
ТГ^ТГ" 7 ¦ ( ’
