Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Л*(?0 = (1 - ^(?0 К)-'Ло(?0. (4.395)
Докажем одно матричное равенство
det А = ехр Sp In А. (4.396)
Л Л
Обозначив In А = X, получим
det А = det ехр X = lim det (1 +Х/п)п = п-*°°
= lim [det(l + Х/п)]п = lim (1 + SpX/nf = exp SpX, n -*¦ °° n -*“>
что и доказывает (4.396). Здесь использованы свойства:
det(/4В) = (det A) (det В), det(l + еХ) = 1 + f Sp X + 0(е2), t -> 0.
Преобразуем Sp Rt(E). Из (4.388) следует, что —— 1пЛ*(?0 = - R±(E) и
ЪЕ
Sp **(?¦) = - 4, Sp In ?*(?•) = Sp ln(l - **(?) V)~ ~~ Sp In R*(E) =
ЪЕ ЪЕ °E
= — In det (1 -RUE) P) + Sp Л* (?¦), (4.397)
ЪЕ
где использованы (4.395) и (4.396). Тогда для плотности состояний получаем, согласно (4.392),
g(E) = g„(E) т - Im In det(1 - Rq(E) V). (4.398)
я ЪЬ
Формула (4.398) дает принципиальное решение задачи об изменении плотности состояний под влиянием возмущения V.
Применим (4.398) к задаче, рассмотренной в 4.7.1. Собственные функции и собственные значения гамильтониана К0 имеют вид
an(k) = N~il2 ехр(1*Лп), Е(к) = {!(к), (4.399)
где к пробегает первую зону Бриллюэна. Тогда
[Д.' (Р)\тп = 2 С(*) ап(к)ЦЕ - Р(к) - ir,] = к
= N-4, ехр [1*(ЛП -Ят)]ЦЕ- № - irj]. (4.400)
к
Найдем из (4.386) и (4.400) матрицу 1 - R~(E) V:
(1 - Rl(E) V)mn = Ьтп ~ 0[Я;№>1/иО«»Ю- (4.401)
Эта матрица отличается от единичной только нулевой строкой. Поэтому
det [1 - Rl(E) V] = 1 - UF(E), (4.402)
где
F(E)=\Rl(E)\00=N-1 ? [?• - /3(Л) - irj]1. (4.403)
к
271
Рис. 4.38. Проявление квазилокаль-ного уровня Е„ в плотности состояний g(E) в энергетической полосезонного электрона.
Тогда
g(bl=g0 (?)+- Im 7? In [1 - UF(E)] = я- ЪЕ
= g0(E) - Im [F'(E)K\ - UF(E))].
(4.404)
Если E > max 0(k) или E < min (3(k), F(E) и F‘(E) вещественны, а мнимая часть в (4.404) отлична от нуля только в случае
1 = UF(E), (4.405)
что представляет собой уравнение для определения энергии локализованных состояний, совпадающее с (4.377). При этом, согласно (4.389) и (4.404)
g(E)=g0(E) + UF\E)6[ 1 -F(E)U] = g0 (Е) + 6 (Е - Е„), (4.406)
где Еп - энергия локализованного состояния и использовано свойство 5-функцин
6[^(х)] = 2б(х - Xj)l | ?>'(*,¦)I,
где Xj — корни уравнения у (х) = 0. Итак, в плотности состояний возникает 6-функ-ционный пик.
Пусть теперь min 0(к) < Е < max 0 (к). Тогда
Im F(E) =*N-1 2 6 (? - 0(к)) = */Ng0 (Е), к
и вблизи являющегося решением уравнения
1 = U Re F(E), (4.407)
g(E)=g0(E) + ReF‘(E)(xu/V)g0(E)l(l - U Re F(E)Y + ((nu/N) g0(E))11'1 ~ «?„(?¦) + (Г/я) [(?-Enf +Г1Г‘, (4-408)
где
Г = *g0 (E„)/N Re F\E„) (4.409)
- так называемая ширина квазилокального уровня. В плотности состояний имеется в этом случае максимум (рис. 4.38). Согласно соотношению неопределенностей, электрон ’’живет” в состоянии с энергией Ел время ~ Ь/Г. Если g0 (Е„) достаточно мало, можно считать, что электрон практически локализован. Это и объясняет название ’’кваэилокальный” уровень.
4.7.3. Фриделевские осцилляции
Мы пропустили ряд важных вопросов, касающихся примесных состояний в полупроводниках (с ними можно познакомиться в любом соответствующем учебнике), ограничившись только одним замечанием. Мы убедились в § § 4.3 и 4.6, что движение электрона в слабо неоднородных и достаточно малых электрических и магнитных полях может быть описано некоторым эффективным гамильтонианом, причем сме-
272
шиванием состояний из разных зон можно пренебречь. Аналогичные аргументы применимы и к примесному потенциалу V(r), если, во-первых, характерный масштаб его изменения велик по сравнению с периодом решетки и, во-вторых, глубина потенциальной ямы мала по сравнению с шириной запрещенной полосы. Тогда получим эффективное уравнение Шредингера
[Ei(- IV) + V(r)\ ф (г) = Еф (/•), (4.410)
которое фактически имелось в виду при предварительном обсуждении примесных полупроводников в 4.4.1: замена массы свободного электрона эффективной массой. Обоснование (4.410) изложено, например, в цитированных монографиях Цидиль-ковского.