Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.26. Схема бесщелевого энергетического спектра полупроводника.
кулоновским отталкиванием и очень узкой 4/-полосой). Хотя формально эти вопросы выходят за рамки зонной теории, мы кратко рассмотрим их ниже, в силу их исключительной важности.
Неметаллы разделяют на изоляторы (диэлектрики) и полупроводники (хотя это не имеет глубокого физического смысла и довольно условно, см. также § 1.7, п. Н). Вещества, у которых в основном состоянии энергетическая щель G между последней заполненной полосой (валентной) и первой незаполненной (полосой проводимости) не более 1 -г 2 эВ, называются полупроводниками, при G ^ 2 эВ — изоляторами. Особо следует отметить случай бесщелевых полупроводников (серое олово, HgTe, HgSe и др.), у которых полосы проводимости и валентная касаются в одной точке, определяемой свойствами симметрии кристалла (рис. 4.26). В основном состоянии это неметаллы, ибо они не имеют частично заполненных полос. Однако их спектр энергий вблизи основного состояния непрерывен, как у металлов.
Оценим зависимость числа носителей тока от температуры в чистых (собственных) полупроводниках. Для этого определим их химический потенциал f. Будем отсчитывать энергии Е от потолка валентной полосы. Число термически возбужденных электронов в полосе проводимости при Т равно
Ne = / 6 dEge(E) [ехр((? - Г + С)/кБТ) + I]"1 , (4.228)
О
где De — ширина полосы, ge(E) — плотность состояний в ней. Предполагая, что
С-{>кБТ, (4.229)
находим
Ne * ехр((Г - G)/kB T)fe d?ge(E)exр( - Е/къ Т) , (4.230)
0
Аналогично число возникших в валентной полосе незанятых состояний
1 См. Wilson А. Н. - Ргос. Roy. Soc., 1931, и. А 133, р. 458.
233
(дырок) равно
JV„ *ехр(- Ц/кБТ) fe dEgh(E)exp(-E/kBT), (4.231)
О
где D/, — ширина, g/,(E) — плотность состояний валентной полосы и предполагается, что
Г>*бГ. (4.232)
В собственном полупроводнике, очевидно,
Ne=Nh. (4.233)
Как уже отмечалось для фононов в § 2.3, можно утверждать, что вблизи края полосы в трехмерном случае
ge(E) = AeEi/2 gh(E) = AhE1/2 E<De,Dh . (4.234)
При кБ Т <De, Dh основной вклад в интегралы в (4.230), (4.231) вносят как раз малые Е. Подставляя (4.234) в (4.230) и (4.231), находим из (4.233)
Г*С/2 + (*Б7У2) In (Ан/Ае). (4.235)
Условия (4.229) и (4.232), очевидно, выполняются при f ~ 1 эВ и G ~ 1 эВ и разумной температуре. Подставим теперь (4.225) в (4.230):
Ne =Nh=exp(-G/2kBT)(AhAe)112 /' dEE'h ехр( - Е/кБ Т) =
о
= ехр( - С/2къ T)(AhAey12 (к Б Т)3/2 X
0,/кБТ X / dxxll2e~x«
о
~(ттА„Ае14У12 {кБТ) 3/2 exp(-G/2kBT), De/kBT^ «в. (4.236)
Формула (4.236) дает зависимость числа носителей тока от температуры для собственных полупроводников. Электрические свойства реальных полупроводников определяются, однако, в основном примесями.
Если внедрить, скажем, в кристалл Ge атом As, произойдет следующее. Атом Ge четырехвалентен, поэтому в его кристалле (решетка типа алмаз, см. рис. 1-21) каждый узел имеет четыре ближайших соседа. У атома As пять валентных электронов, сравнительно слабо связанных с ядром. Если атом As замещает в решетке атом Ge, четыре электрона идут на образование валентных связей (см. рис. 130), а пятый может стать практически свободным. Это происходит по следующей причине. Радиус связанного состояния электрона и положительного заряда I е I в вакууме порядка fi2/me2, энергия связи, как известно, равна АЕ = me*/2h2 « 13,5 эВ-
В среде взаимодействие зарядов ослабляется в е раз: е2 -* е2/е, где е —
статическая диэлектрическая постоянная, а массу т надо заменить эффективной т*. При этом радиус связанного состояния будет
a ~h2 е/т*е2 = (em/m*)(t\2/те2) 0,5 ет/т* А, (4.237)
а энергия связи
АЕ = (т*/те2)(теА/2t\2)« 13,5 т*/те2 эВ. (4.238)
234
Для полупроводников е довольно велика, е ~10. Это связано с малостью G; когда G = 0, система становится металлом, и е = °°. Как увидим в 4.5.6, малость G приводит также к малости т*/т . В результате а может достигать величины порядка десятков межатомных расстояний (именно зто и позволяет описывать влияние среды макроскопической, т.е. усредненной, величиной е), а энергия связи, например для примеси As в Ge, ослабляется по сравнению с потенциалом ионизации As в вакууме с 9,8 зВ до 0,013 зВ. Такие ’’мелкие” связанные состояния легко разрушаются тепловым движением уже при Т ~ 100 К.
Примеси, ’’поставляющие” электроны, называются донорами. Аналогично можно рассмотреть какую-либо трехвалентную примесь в Ge, поставляющую дырки в валентную зону (см. рис. 1.30). Такие примеси называются акцепторами.
