Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
’ См. Шубин С.П. - ЖЭТФ, 1933, т. 3, с. 461.
См. Ландау ЛЛ., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1974, § 45.
237
Рис. 4.28. Вид волновой функции Ф (х) при сильном беспорядке.
а) 5)
Рис. 4.29. К образованию ’’псевдощели”. Плотность состояний в энергетических полосах в зависимости от энергии: при наличии щели (в); при наличии псевдощели (б).
функция в слабом потенциале имеет вид плоской волны с малыми добавками, и, следовательно, соответствующее состояние является токовым. Подчеркнем, что в одно-и двумерном случаях эта поправка, найденная из теории возмущений, расходится и можно ожидать радикальной перестройки состояний даже в слабом потенциале.
Вопрос о том, почему в жидких металлах (и вообще в металлах) потенциал можно считать слабым, будет обсуждаться ниже (см. 4.5.4). Ясно, что малость потенциала обеспечит и выполнение второго условия.
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда второе условие нарушается, т.е. длина свободного пробега сравнима с длиной волны электрона (в металлах - с межатомным расстоянием). При этом волновые функции электронов ф (х) на соседних узлах будут полностью нескоррелированными (рис. 4.28). Андерсон Ф. (1958) показал, что при сильной разупорядоченности электроны оказываются локализованными в некоторой области пространства, а их состояния, следовательно, являются бестоко-выми.
Рассмотрим жидкий или аморфный полупроводник. В кристаллическом полупроводнике плотность состояний имеет вид, изображенный на рис. 4.29, а с наличием энергетической щели. В неупорядоченной системе энергия электрона на узле флуктуирует в зависимости от окружения, и за счет этого края зон размазываются. Формируется так называемая псевдощель (рис.' 4.29, б). Состояния в центре псевдощели образуются небольшим числом узлов, так как требуют больших, поэтому маловероятных, флуктуаций энергии. Расстояние между такими центрами в среднем велико, волновые функции сидящих на них электронов не перекрываются, поэтому состояния с энергией, лежащей в центре псевдощели, могут быть локализованными, а состояния по ее краям близки, в каком-то смысле, к обычным зонным состояниям. Существуют критические значения энергии, отделяющие локализованные состояния от токовых (они называются порогами подвижности), и если при изменении концентрации электронов или под действием высокого давления произойдет переход уровня Ферми через порог подвижности, изолятор (полупроводник) превратится в металл или наоборот. Такой переход называется андерсоновским1.
На этом мы заканчиваем обсуждение "незонных” эффектов в связи с важнейшим вопросом о критерии металл - изолятор и перейдем к рассмотрению некоторых коик-
Подробнее см. цитированную монографию Мотта Н.Ф., а также книгуМоттН., Девис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах: Пер. с англ./Под ред. Б.Т. Ко-ломийца. - М.: Мир, 1974; Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников. - М.: Наука, 1979.
238
рстных задач зонной теории, пределы применимости которой нами в определенной степени уяснены. Хотя современная теория твердых тел существенно выходит за рамки зонной модели, но тем не менее последняя имеет достаточно широкую область применимости - прежде всего для нормальных металлов и кристаллических полупроводников.
§ 4.5. Расчет электронного энергетического спектра кристаллов
4.5.1. Приближение самосогласованного поля
Выше уже отмечалось, что взаимодействие между электронами в твердых телах, вообще говоря, нельзя считать слабым (хотя бы потому, что оно не слабо в атомах, составляющих твердое тело). Поэтому при любом расчете спектра энергий реального твердого тела, претендующем хотя бы на качественное согласие с опытом, учет межэлектронного взаимодействия необходим. С другой стороны, из-за большой сложности многочастотной задачи какие-то результаты можно получить, лишь сохранив формально схему зонной модели, построив уравнение Шредингера для одноэлектронной волновой функции, лишь частично учитывающее эффекты кулонов-ского отталкивания1.
Рассмотрим многоэлектронное уравнение Шредингера для кристалла (см. (1.65) ), сделав в нем замены
С(Л„г,)-> Уп (г,) и W(rhrf) ->е2! I/у /у I.
Возможность рассматривать ядра ’’замороженными” интуитивно кажется очевидной (см. § 1.8). Однако строгое обоснование этого (адиабатического) приближения весьма трудно. Этот вопрос подробнее рассмотрен в гл. 5. Уравнение (1.65) эквивалентно условию экстремума функционала
< Ф I JCI Ф > при заданной нормировке волновой функции:
5 2 $drx .. .drN.. ,rN oN)X
a, = ± Vi, . . . opj = ± Vi
X( JC- E) Ф(г,а,,. .. ,rNaN) = 0, (4.240)
2 Jdrx ... drN I Ф(г1 aj,... , rN aN ) I2 = 1,
a, . . . ON
Л
где 5 - символ вариации. Варьируя < Ф ис1ф>-/г<ф|ф> по Ф*, получаем уравнение Шредингера. Е играет роль неопределенного множителя Лагранжа. По принципу Паули волновая функция Ф антисимметрична относительно перестановок координат и спинов любых двух электронов:
