Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ищем решение (4.173) в виде
акь; = а8ь;д' + №ь;Я" + <*ь; +а'ь;+¦¦¦> (4.183)
поправки а, а", .. . можно считать малыми по сравнению с а и0, которые одного порядка. Подставим (4.183) в (4.173) и обратим внимание на те уравнения, где bg=q' и bg = q". Если отбросить все члены второго и высших порядков малости, то получаем
[Е-Е(к + Я')]а- 0 = 0, Vq< _q< а~[Е - Е(к + q")]$ = 0
(здесь К000 = 0). Решения однородной системы (4.184) отличны от нуля, если их определитель равен нулю. Учитывая (4.118), находим для энергии электрона в кристалле
Е± =W(k+q) + E(k+q"))± [У*(Е(к + q') - Е(к + q"))2 + | Vq_q..\2 ] ^
(4.185)
Итак, разность между двумя возмущенными уровнями энергии, соответствующими невозмущенным Е(Ас + q') uE(k + q"), остается конечной, как бы мала ни была разность последних. Даже если конец вектора Ас лежит на границе зоны и невозмущенный уровень вырожден: Е (Ас + q) = = Е (Ас + q”) = Е0,то (4.185) дает два возмущенных уровня
Et=fio±Wq._q:\, (4.186)
которые при I Vq- _q" | Ф0 всегда отличны друг от друга. Поэтому сколь
223
угодно слабый периодический потенциал снимает ’’сверхвырождение” при соприкосновении зон (см. выше), и в первом приближении мы имеем энергетическую щель (4.186).
Рассмотрим (4.185) и (4.184), когда конец к не лежит точно на плоскости гранн-цы-эоны (4.182). Представим себе, что из конца к опущен перпендикуляр на эту плоскость. Обозначим новый вектор (малый по условиям задачи) через ц. Проведем
далее вектор К0 от начала координат к концу г) н обозначим соответствующую энергию E(k + q') = Е(к + q") = Е0. Ясно, что
к= К0 - V- (4.187)
Отсюда
h’ , - hJ -E(k + q ) - E0 - —— (K0 +q ) rj + —— rj 1, (4.188a)
2m 2m
E(k+q, ) = E„ - -—(*„ +q") 17 + —- 17 (4.1886)
2m 2m
и, следовательно,
j|Elk+q-) + Elk+q")]=Et - ^ (2KC + q‘ +q") 4 + 4*-
h’
E(k +q ) - E(k+q")=---------(q‘ ~ q”) v .
m
Вектор 77 нормален к плоскости (4.182) и параллелен вектору q' -q", и вектор 2К0 +
+ q' +q" нормален к q' -q" (нбо (4.182), которому К„ должен удовлетворять, может
быть записано так: (2+q‘ + q") (q1 - q") = 0). Тогда получим
1 , , hJ
— 1 ^Г(* +</') + ?¦(* +</")| = ?•„ + — rjJ, (4.189)
2 2т
E(k + q') - E(k +q") = ± —— (4.190)
m
Подставляя это в (4.185), получаем окончательно
1/2
(4.191)
Эта зависимость схематически изображена на рис. 4.24. При V =0 (4.189) переходите (4.186). Но в (4.191) ярко проявляется существенный факт, не видный сразу из (4.185). Вектор К0 и энергия Е0, по определению, не меняются, если перемещать конец к по нормали к границе зоны, т.е. величина Е0 определяется только проекцией к на граничную плоскость. От нормальной слагающей к к этой плоскости возмущенная энергия Е зависит только через ц. Однако в (4.191) v входит квадратично (в этом принципиальное отличие (4.191) от (4.188а) и (4.1886) для невозмущениой задачи). Поэтому нормальная слагающая градиента энергии, согласно (4.191), равна д?±
ПЧкЕ* = —~ =
8 I т) I
ft1 г hJ / hJ _> \-‘/i "I _>
=---- l*— — \q -g'V rj 1 +41 Vq<117 1 (4.192)
m L m \ m2 '
и при t)= o и и v* ?= 0, т.е. на гранцне (4.182) V^E лежит в ее плоскости; а нзоэнерге-тическая поверхность Е = const, построенная по (4.190), нормальна к (4.182). Этот вывод наглядно показывает влияние периодического поля на спектр энергий. Вдалеке от плоскостей (4.182) нзоэнергетическис поверхности в первом приближении не
224
Рис. 4.24. Схематическая зависимость энергии ?
Е = E(Smd2/h1) от кваэнимпульса к (волново- да
го вектора) зонного электрона вблизи границы зоны Бриллюэна. Указаны первые три зоны f 1. f j. f3 и положительные значения квази-импульса.
3
меняются. На плоскостях (4.182) до включения поля изоэнергетические поверхности одной зоны смыкаются с соответствующими поверхностями соседней. При включении поля между этими поверхностями равной энергии образуется конечный разрыв, причем они отгибаются так, что подходят с нормальной касательной к той плоскости, на которой они ранее смыкались (см. выше).
