Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Особенно наглядно это проявляется в одномерном случае, как это хорошо демонстрируется пунктирными участками кривой рис. 4.24, которые прн значении к, где ранее происходило соприкосновение зон, отгибаются и подходят к этой границе с касательной параллельной оси абсцисс.
Согласно (4.159), выражение (4.192) определяет собой слагающую средней скорости электрона по нормали к плоскости границы зоны: <v (к,())п. Итак, на этих плоскостях она обращается в нуль. Это связано с "теоремой об исчезновении тока" точной теории (см. конец 4.2.3). Для одномерного случая это не связь, а точное совпадение (см. (4.112)). В трехмерной задаче условие <v (к, f )> п = 0 на всех плоскостях (4.182) является более сильным утверждением, чем то, о котором говорилось в конце 4.2.3. Но в такой резкой форме оно справедливо лишь в первом приближении, ибо сами плоскости (4.182) появляются в теории, если за нулевое приближение взять свободный электрон. Конечно, эти плоскости всегда можно провести, но нет оснований утверждать, что и в точной теории <v(fc, f)>n= 0 на них всегда. Исчезновение <v (Л, f)>n обусловлено тем, что вблизи плоскостей (4.182) волновая функция в потенциальном поле испытывает существенные изменения, которые можно проследить с помощью (4.184). Положим, для определенности, что Е(к +q') > Е(к + q") . поэтому в (4.190) должен стоять знак плюс и из (4.184) в соответствии с (4.185), (4.189) и (4.190) находим
1= V*
-i
(4.193)
Отсюда видно, что пока
\E(k+q)~ E(k+q")\ = — | q'-q" I I n \ > 2 I V„< \,
m ч ч
(4.194)
либо I p/a | > 1, либо I p/a I < 1, т.е. линейная комбинация a&bgq' + близка со-
ответственно к одному из невозмущенных значений a6bgq' или P&b*q" И волновая
функция несущественно отличается от невозмущенной. Это и соответствует предположению об отсутствии вырождения (ср. (4.181) и (4.194)); здесь и (4.185) дает для энергии невозмущенные значения. В противоположном случае
h1
— I q'-q" I I rj I < 2| Vq_q'\,
(4.1P5)
амплитуды а и p no (4.193) имеют одинаковый порядок величины, т.е. волновая функция оказывается существенно отличной от волновой функции бегущей волны
15.Зак.768
225
(4.164) и представляет собой суперпозицию двух бегущих волн с амплитудами одного порядка. Особенно ясно это видно при т) = 0, когда (4.193) имеет вид
Тогда в нулевом приближении, согласно (4.183) (если отбросить все малые поправки а’, а" и т.д.), имеем
Здесь у К0 индекс 0 подчеркивает, что (4.199) справедливо приточном равенстве' E(KQ + q') = Е (К0 +q"). В (4.199) векторы К0 +q' и -К0 + q" равны по модулю, а вектор их разности q' - q" нормален к (4.182). Поэтому орты (К0 + q')/\K0 + q' I и (К0 + q")/\ К0 + q" I связаны между собой как орты луча падающего и луча отраженного от плоскости (4.182). Таким образом, состояние, описываемое какой-либо из функций (4.199), можно трактовать как результат отражения бегущей волны от этой плоскости с определенной разностью фаз падающей и отраженной волны. В известной мере этот результат можно рассматривать как оправдание классического "волнового” рассмотрения в 4.1.1. Необходимо только помнить, что вид ф (4.199) получен в первом приближении задачи почти свободного электрона, и он вовсе на обязателен в такой чисто волновой форме для точной теории.
Можно было бы пойти дальше и найти следующие приближения для ф и Е. Однако это не столь интересно, ибо ничего качественно нового мы при этом не получим.
Было бы интересно рассмотреть теперь противоположный предельный случай сильно связанных электронов, но это мы отложим до 4.5.3.
§ 4.3. Действие электрического поля на электронные состояния
4.3.1. Ускорение и эффективная масса электрона
Для вычисления различных характеристик твердых тел надо знать, как внешние электрическое и магнитное поля действуют на электрон. Рассмотрение ускорения в электрическом поле нужно, в частности, для объяснения существования металлов и неметаллов и точной формулировки понятия электрон проводимости. Предположим, что при t < 0 электрон находился в стационарном зонном состоянии
затем включается постоянное однородное электрическое поле напряженности F со скалярным потенциалом iр = —Fr. Изменение состояния электрона описывается нестационарным уравнением Шредингера
1 Из (4.199) следует, что в состоянии, описываемом зтой функцией, составляющая скорости, нормальная к плоскости (4.182), равна нулю. Кроме того, в качестве упражнения из (4.199) можно получить ряд выводов точной одномерной задачи
0 * 01 ^q"~q'l i ^q"— q' I >
(4.196)
т.е. Ial=l(3l. Введем обозначение
(4.197)
akb* ~a I 6bgq' ±exp i-i<t>q-_q")6b*q"].
(4.198)
или, переходя по (4.130) к обычному выражению для волновой функции,
