Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
> Яъ > • • • > 4i< • ¦ • > 4j.4n) —
= - ^(Qi,Q2......<7/, • •• • • ,</лг); (4.241)
здесь введено обозначение qt = (rto/). Для невзаимодействующих частиц Ф(<7,, q2,..., qN) имеет вид определителя из одноэлектронных
' Здесь изложение близко к книге Бете Г. Квантовая механика: Пер. с англ ./Под ред.
B.J1. Бонч-Бруевича. — М.: Мир, 1965.
239
функций ф„(ц):
(ЛЧ )'1/2 !«?$>*„. (<?,)••• ^(<Ы,
^,(</i)
(<7лг)
(<7лг)
^fai) •• • ^Vn(Qn)
(4.242)
где у,- — квантовые числа занятых электронных состояний, 5й- перестановка индексов «^1,... , Удг, величина ел = ±1 в зависимости от четности перестановки.
Воспользуемся прямым вариационным методом, т.е. ищем экстремум функционала под знаком вариации в (4.240) на классе функций вида (4.242), где Ф„ (ц) — некоторые пробные функции. Это даст наилучшее (в смысле вариационного принципа) квазиоодноэлектронное приближение Хартри - Фока (или самосогласованного поля). Вычислим сначала интеграл нормировки
fdqi ... dqN I ...qN) I2 = (AM )'* X
X 2 еле л fdqi . .. dqN [§>'ф* (?,)...
.9.1' * *
¦¦¦ KN (<7лг)1 [ZhVi (Qi) ¦ ¦ ¦ i>vn(Qn)]. (4.243)
где / dq j = 2 fdr i. Потребуем выполнения дополнительных условий ".
f dq ф* (q) Фи'(я) = • (4.244)
Л Л
Тогда в (4.242) дают вклады только члены cBJ= и все они равны единице.
Число различных перестановок 3° равно А'!, следовательно, (4.243) равен
Л
единице автоматически. Вычислим теперь функционал < Ф IJfl'I'). Для примера рассмотрим наиболее сложный член
<* IJ4 2' 1г,-г/ГЧ*> = УУ! 2 елелХ И ' >.?>' .Р Г
Xfdqt ...dqN [&' ф*( fa,)... \?/*лf(qN)] X
X [$*„, fa,) • • • й 2' |г; - /у Г1. (4.245)
ч
Вьщелим в (4.245) члены с q„ q/ и проинтегриуем по остальным переменным с учетом (4.244). Вклад в (4.245) дают два набора перестановок
Л, л л> л Q л
3* = 5s и tP = 3^, где ?г отличается от ^перестановкой у,- Vj. При этом е2л = 1, елел= - 1, и мы имеем
2 .? &
< * I й 2' 1г/ - rj I-1 I * > = й 2 / dq dq' X
if vv
x ФИя)№ (?’) IГ-г’Г1 1Ф„ (q)ts fa’)- ф„(д' )ф1>. fa)].
(4.246)
240
Множитель (N\)1 опять сокращается из комбинаторных соображений. Аналогично получаем
<*|ЗС|*>= 2 / dq^t(q)K0 ф„(Ч) +
V
+ (е2/2) 2, jdqdq' ГЛя)ГАя)\г~гГ1 X
VV
h2
х [Ф„(я) ф„’(я') - ф„(я') Фи’Ш, =- А+ vn(r) . (4.247)
2т
Учитывая (4.244), решаем вариационную задачу
[<*|Jfl*>-2 =0. (4.248)
5 (?)
С учетом (4.247), выполняя варьирование, получаем
h2 р(г)
- Д + Vn (г ) + е / dr
2т |г - г|
Is
Фis(r°) -
е2 2 / dr' ф%’(г'а) ф^(г'а') \ г -г'| 1 X
]5 а
х Ф,*(го)= 21 к,is Ф/S {го) . (4.249)
is
Здесь /s = v, js = и , где /, / — орбитальные квантовые числа, a ss’ — спиновые,
р(г)= 2 I ^(л, о)|2 (4.250)
jsa
— полная плотность электронов в точке г .Мы пока учитываем возможную зависимость орбитальной части волновой функции от проекции спина (спин-поляризованное самосогласованное поле, или спин-неограничен-ное приближение Хартри - Фока). Произведем теперь унитарное преобразование функций Ф,з(го):
ф„ = 2 с*м i//M, i//M = 2 с„м i//„ . (4.251)
м v
При этом
? ф; {я) Ф»{я) = 2 Ф1 {я) ФЛя) • (4.252)
М v
(В силу свойств унитарности матрицы Ис,,м11, имеем
2 с„*м cv'M=8vv', (4.253)
м
что и позволяет получить (4.251), (4.252).) Подставляя (4.251), (4.252) в (4.249), получаем, что уравнение (4.249) сохраняет свой вид с заменой ф -+ ф, XVI/ -* 2 с?„ Хмм’ cMv- В силу эрмитовости Хмм-, очевидной из мм’
(4.248), существует унитарная матрица II см„ ||, диагонализирующая II Хм„ II. Только такое представление и будем использовать. Обозначая собственные
16. Зак.768 241
