Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся еще раз к вопросу о зависимости энергии свободного электрона от слагающих квазиимпульса внутри зоны для трехмерного случая. Пока речь идет о первой зоне, где по (4.163) q = 0 и векторы к и \ совпадают, энергия — монотонная функция | к \ . В следующих зонах, как это видно из примеров рис. 4.21 и 4.22, дело усложняется. Разумеется, изоэнергети-ческие поверхности, в силу квадратичного закона дисперсии (4.163), и там составлены из кусков сферических поверхностей, но для разных к приходится брать поверхности с разными центрами, что приводит к сложной картине.
В качестве примера приведем плоскую квадратную решетку. На рис. 4.23 показаны изоэнергетические кривые для первых трех зон в приведенной схеме. В первой зоне это окружность. Во второй (рис. 4.23,6) — это более сложные кривые - подушкообразного вида. Здесь нельзя считать, что энергия электрона однозначно определяется модулем вектора к, ибо она зависит и от его направления. Правда, здесь еще можно говорить о монотонности Е(к) для состояний с одинаковым направлением к, энергия всегда убывает с ростом | к\ . В третьей зоне (рис. 4.23, в) теряется и это: для некоторых направлений к энергия увеличивается с ростом |Л|, а для Других убывает, и, наконец, есть направления к, для которых энергия изменяется немонотонно (например, для попадающих в участок рис. 4.23, в между линиями с номером 4).
Этот пример показывает, с какой осторожностью следует относиться ко всяким предположениям о виде функции Е(к, f). Все зти выводы могут быть сделаны лишь на основе строгих соображений симметрии. К этому вопросу мы вернемся в § 4.5.
а) 5) В)
Рис. 4.23. Изоэнергетические линии в квадратной плоскости решетки для первых трех приведенных зон Бриллюэна первая (в); вторая (б) и третья (в) зоны (цифрами указан номер изоэнергетической поверхности в порядке возрастания энергии).
221
Учет слабого периодического поля. Перепишем основное уравнение (4.131) в несколько ином виде:
считая Vb * Ф 0, но малыми. Рассмотрим два случая, когда соответственно
векторы % = к + bg не близки к плоскостям Бриллюэна или близки к ним. В первом случае (4.173) в нулевом приближении не имеет кратных собственных значений. Можно считать, что и энергия (4.163) не лежит близко к другому значению. При этом ищем решение (4.173) в виде
где а',а",е', е" и т.д. малы. Подставляя (4.174) в (4.173), в первом приближении имеем
Неопределенную величину а находим из условий нормировки. Сравнение формул (4.128) и (4.146) показывает, что для нормировки по кх, кг, к3 надо положить
2 \акЬ'\2 =(2я)'3К0-1. (4.177)
Xl «3 g
Отсюда в нулевом приближении (4.162) имеем
Эта нормировка сохраняется и в первом приближении. Как и в общей теории, по (4.174) имеем
Итак, в первом приближении решение найдено; (4.176) и (4.130) дают
4>к(г) = (2п)~312 К0~112 ехр (!(*+«) г] X
X ( 1 +(2m/h2)T,' Vb.exp(ib'r)l[(k +q)2 ~ (к + q + b’f ]], (4.180)
где звездочка означает, что из суммы исключен член 0, 0, 0.
Формула (4.175), где V000 = const или 0, показывает, что слабое периодическое поле в первом приближении не влияет на энергию, если к не близко к границе зоны. Для (4.180) уже в первом приближении появляется мо-222
(4.173)
акь• - аЬь;я + а'ь; +аь;+ ¦¦¦> Е= ----- (k+qf +е +е +...,
2т
(4.174)
Уравнение с bg = q дает
(4.176)
(4.175)
а = (2ттГ212У<Г112.
(4.178)
(4.179)
дулирующий фактор. Отсюда устанавливаем точный смысл понятия почти свободный электрон. Оно применимо, пока для фурье-образов потенциала при всех bg имеем
|Кй*|<|?,(Г+*;)-?’(Г)1. (4.181)
Из (4.181) видно, что оно не удовлетворяется даже при малых если хотя бы для одного bg, Е{? + bg) лежит близко к Е {?), т.е. конец вектора % лежит близко к границе зоны. Если этого нет, то правая часть (4.181), как указано выше, ~h2/md2, т.е. ~1-Н0эВ. Поэтому, если при этом
I Vb• | не превышает 0,1 -^0,01 эВ, то электрон ведет себя почти как свободный. Такая оценка | Ц,* | на первый взгляд неправдоподобна. V(r) -потенциал ионов с глубоким и узким провалом у узлов решетки. Поэтому фурье-образы V(г) для многих bg (т.е. намного превышающих размеры первой зоны Бриллюэна) будут не малы. Это сводило бы на нет значение всего приближения. Практически же оно хорошо себя оправдывает, ибо фактически на электрон действует не потенциал ионов, а малый псевдопотенциал (см. § 4.5).
Перейдем к рассмотрению второго случая, когда конец вектора Ас близок к плоскости Бриллюэна, т.е.
k(q’-q") + lA(q'2-q"2)^0 (4.182)
при заданный значениях q и q". Тогда невозмущенные энергии Е (Ас + q') и Е(к + q ) близки, а если конец Ас точно лежит на границе зоны, то равны. Учтем возмущение этих ’’почти вырожденных” состояний (_k,q) и (k,q ").
