Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
4.3.2. Зинеровский пробой
Оценим теперь роль отброшенной правой части (4.205), описывающей межзонные переходы (пробой Зинера, 1934). Перепишем для этого (4.205) в виде
3 ( eF . \ ieF (/ ,1
з7 “( ~7, )=тг~ ехр(г[Eiki) ~>*' J ¦Х
X f drufc(r) v(г) <*(*?' |f). (4.215)
Делая замену k-*k{t) н интегрируя no t, получим
ieF 1 (i 7 )
“(*r I 0 =—- / dr 2 exp^ — [ / rfT* [?¦(* (r') ir) - ?¦(*(x’) J-’)l 1 > X
h o l" о I
xfdru^/)f(r) V*u*(,)f(r)a(*(f) f It). (4.216)
Здесь надо вернуться к выводу (4.203), из которого видно, что если переходить к набору состояний A (t), f, то базисными функциями будут не ехр - — ?(*):) t j Фц(г), i '
a exp[-— J drE(k{T) f)l и соответственно изменится вид уравнения
(4.204). Подставим теперь в правую часть (4.216) а в пренебрежении межзонными переходами (4.206) и положим, что a(*f | 0) = (т.е. при t =0 электрон находился
в состоянии | Лет] > ). Вероятность пробоя равна | a(*f | + °°) |*, т.е.
wT)_>j.= | / dr ехР / dT\E{k(T) f) - Е(к(т') т))||\fv(T) I1, (4.217)
где
Hv{T) = — /dn‘k(r)! (r) v*u*(t)t)('’) h
- плавная функция т по сравнению с экспонентой. Далее для простоты рассмотрим
eF
одномерную цепочку. Сделаем замену переменных т -» к-----------т, а нижний предел ин-
h
тегралов (4.217) заменим на - °° (надо исключить эффекты мгновенного включения поля, так как реально оно всегда включается практически бесконечно медленно по
229
сравнению с атомным масштабом времени; тогда от момента включения ничего не зависит и можно выбрать его в бесконечном прошлом), в результате получим
vV~*S :
~ S </*AfT)(*)exp [ — / dk'(E(k'i)-?Ч*'т]))|
(4.218)
^{•т)(т) = А.}-,) ^ ~ т . Подынтегральное выражение в (4.218) содержит быстро
осциллирующий при F-* 0 множитель, и, следовательно, интеграл может быть вычислен по методу перевала1 (для вычисления вероятностей перехода в квантовой ме-
Рис. 4.25. Путь интегрирования для вычисления интеграла (4.220).
ханике он применен Ландау, 1932). Основной вклад в интеграл вносит точка к0, в которой производная фаэы осциллирующей функции по к равна нулю
E(k0i) = E(k0n) (4.219)
(Вблизи к0 фаза меняется плавно, а вдали от к„ - очень быстро, подынтегральное выражение при этом хаотически меняет знак и в среднем равно нулю.) Но таких вещественных значений к0 нет (исключая случай вырождения, которым мы не будем заниматься), и, как можно показать, при этом стремится к нулю при F -* 0 быст-
рее, чем любая степень F (см. цитированную монографию Федорюка). В случае, если точка к0 лежит в комплексной плоскости, а функции Е(к{), \^(к) обладают ’’хорошими” аналитическими свойствами, можно деформировать контур интегрирования (вещественная ось) так, чтобы он проходил через точку к0. Можно показать, что в этом случае именно в к0 будет достигаться максимум подынтегрального выражения на контуре и с точностью до предэкспоненциальных множителей
~ j ехр р / dk (Е(к. f) - Е(к, т]))
Г 2 Kg ~ ~ I
~ехр------------f dx(E(k + in, {) - Е(к +in, т?))I, (4.220)
L I e IF о J
где контур С изображен на рис. 4.25; мы учли, что
I ехР I ГТТ / ~ I’ =
lei F с,
и введены обозначения ка =Im?0, k=Rek0. Вероятность пробоя особенно велика вблизи границы зоны Бриллюэна. В приближении слабой связи (см. (4.185))
E(ki)~ E(kn)= [(E(k+q) -E(k + q)? + 4 | Vq^q’f ) 1/2 =
= [(lirh1 Imdf (k + */df + Д2]1/2, (4.221)
где выбрано q =0, q' =2ir/d, k = - ir/d и введено обозначение 2 | Vq~q 'I = Д ДЛЯ энер-
1 С'м. Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977, а также Ландау Л.М., Лиф-
шиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1974, § § 51 - 53.
230
гетической щели между полосами Из (4.221) следует к0 = —я/d + imdA/2nh2,
г mdAI2пЬг . п
w ~ ехр | - (2/ I е \ F) ) dn(А2 - (2»rJh2 /md2) к2) ' J ~
~ехр (-mdA2 /41 е I Fh2 ). (4.222)
Таким образом, вероятность межзонных переходов действительно пренебрежимо мала при
F < mdA2 /4 I е I h2. (4.223)
